質理想
外觀
在數學中,質理想(Prime ideal)是環的一個子集,與整數環中的質數共享許多重要的性質。
正式定義
[編輯]- 環R的理想P是質理想,若且唯若它是一個真理想(也就是說,P ≠ R),且對於R的任何兩個理想A和B,若有AB ⊆ P,則A ⊆ P或B ⊆ P。
交換環的質理想
[編輯]質理想對交換環有一個較簡單的描述:設R是一個交換環,如果它具有以下兩個性質,那麼R的理想P是質理想:
- 只要a,b是R的兩個元素,使得它們的乘積ab位於P內,那麼要麼a位於P內,要麼b位於P內。
- P不等於整個環R。
這推廣了質數的以下性質:如果p是一個質數,且p能整除兩個整數的乘積ab,那麼p要麼能整除a,要麼能整除b。因此,我們可以說:
- 正整數n是質數,若且唯若理想nZ是Z的質理想。
例子
[編輯]- 如果R表示復係數二元多項式環C[X, Y],那麼由多項式Y2 − X3 − X − 1生成的理想是質理想(參見橢圓曲線)。
- 在整係數多項式環Z[X]中,由2和X生成的理想是質理想。它由所有常數項為偶數的多項式組成。
- 在任何環R中,極大理想是一個理想M,它是R的所有真理想的集合中的極大元,也就是說,M包含在R的正好兩個理想內,即M本身和整個環R。每一個極大理想實際上是質理想;在主理想整環中,每一個非零的質理想都是極大的,但這一般不成立。
- 如果M是光滑流形,R是M上的光滑函數環,而x是M中的一個點,那麼所有滿足f(x) = 0的光滑函數f形成了R內的一個質理想(甚至是極大理想)。
性質
[編輯]- 交換環R中的理想I是質理想,若且唯若商環R/I是整環。
- 環R的理想I是質理想,若且唯若R \ I在乘法運算下封閉。
- 每一個非零的交換環都含有至少一個質理想(實際上它含有至少一個極大理想),這是克魯爾定理的一個直接結果。
- 一個交換環是整環,若且唯若{0}是一個質理想。
- 一個交換環是體,若且唯若{0}是唯一的質理想,或等價地,若且唯若{0}是一個極大理想。
- 一個質理想在環同態下的原像是質理想。
- 兩個質理想的和不一定是質理想。例如,考慮環,它的質理想為P = (x2 y2 - 1)和Q = (x)(分別由x2 y2 - 1和x生成)。然而,它們的和P Q = (x2 y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是質理想。注意商環具有零因子意味著不是整環,因此P Q不能是質理想。
非交換環的質理想
[編輯]如果R是非交換環,那麼R的理想P是質理想,如果它具有以下兩個性質:
- 只要a,b是R的兩個元素,使得對於R的所有元素r,它們的乘積arb都位於P內,那麼要麼a位於P內,要麼b位於P內。
- P不等於整個環R。
對於交換環,這個定義等價於前面所述的定義。對於非交換環,這兩個定義是不同的。使ab位於P內意味著a或b位於P內的理想稱為完全質理想。完全質理想是質理想,但反過來不成立。例如,n × n矩陣環中的零理想是質理想,但不是完全質理想。
例子
[編輯]參考文獻
[編輯]- David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256頁.