零角形
| 正零边形 | |
|---|---|
 | |
| 类型 | 正多边形 |
| 对偶 | 正零边形 (本身) |
| 边 | 0 |
| 顶点 | 0 |
| 施莱夫利符号 | {0} t{0} |
| 考克斯特符号 |    |
| 对称群 | 二面体群 (D0) |
| 旋转群 | D0 |
| 内角（度） | 不存在 |
零角形或零边形（0-gon[1]或zerogon[2] ）是一种多边形，根据多边形的定义，其代表着0条边和0个顶点的封闭图形，通常是在讨论多边形的退化形式，在不同的领域中有不同的定义，因为一个多边形不可能同时没有边也同时没有顶点。零边形或零角形定义是否有效取决于其上下文对这种数学结构的描述方式，根据性质的不同，有时用于表示没有边的几何结构[3]，或者有边但没有顶点的几何结构[4]。
在抽象几何学中，对应的概念为空多胞形，指不存在任何元素的多胞形[5]，对应到集合论中即为空集[6]。部分非正式的场合会将零角形视为圆形[7]。
零边形与零角形可能指代不同事物，例如零角形强调该多边形没有角或没有顶点，因此可能存在边，例如零角形二面体中的零角形面；零边形则是强调该多边形没有边，因此可能存在顶点，例如近零边形代表一个顶点[8]。
定义
[编辑]根据多边形原本的定义，零角形应指没有边也没有顶点的几何结构，为一个已退化至无法构造的结构。由于零角形是指没有顶点的几何形状，因此不存在任何边和角，内角和亦不存在。根据多边形内角计算公式可得正零角形的内角为无穷大度，但是讨论零边形或零角形的内角是没有意义的，因为它不存在任何边和角。
然而部分研究将零边形定义为没有边的图[9]，即无边图，或拓朴上没有顶点的数学实体[4][10]，亦有部分研究将零角形当成圆形，或其他没有顶点的封闭曲线[11]，亦有部分图论的研究将零边形视为三角形（n=3）等多边形在n=0的推广[12]。
近多边形
[编辑]无边地区图
[编辑]| 类别 | 正则地区图 抽象多胞形 射影多面体 |
|---|---|
| 对偶多面体 | （自身对偶） |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {0,0}[13] |
| 性质 | |
| 面 | 1 |
| 边 | 0 |
| 顶点 | 1 |
| 欧拉特征数 | F=1, E=0, V=1 （χ=2） |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 零边形 |
| 顶点图 | 零边形 |
| 对称性 | |
| 对称群 | 单元素群[14], 1阶[13] |
部分定义下的0-gon代表由一个顶点、零个边构成的多边形[8]。这种只有一个顶点、零个边的多边形有时又被称为零边形。这种几何结构可以构成一种特殊的抽象一面体，其对应的正则地区图为无边地区图（edgeless map），由1个零边形面、1个顶点组成，其不存在边[13]。这种抽象多面体可以具象化为射影平面上的一个点，其面占据整个射影平面。这种多面体在施莱夫利符号中可以用{0,0}表示[13]，这个符号代表的意思是每个顶点都是0个零边形的公共顶点，在部分定义下是无意义的，因为实际上顶点周围是存在1个零边形面，然而“每个顶点都是1个零边形的公共顶点”施莱夫利符号需要表示为{0,1}，这代表其对偶多面体为{1,0}，即“每个顶点都是0个一角形的公共顶点”，而无边地区图是一个自身对偶的正则地区图，因此得到矛盾。[13]
无边地区图是一种自身对偶的正则地区图，这意味着其对偶多面体为本身，同时其皮特里对偶也是本身。[13]无边地区图对应的骨架图为K1完全图。[15]
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零面体
[编辑]| 类别 | 抽象多胞形 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 零角形二面体[注 2] |
| 性质 | |
| 面 | 0 |
| 边 | 1 |
| 顶点 | 2 |
| 欧拉特征数 | F=0, E=1, V=2 （χ=1） |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 不存在 |
| 顶点图 | 不存在[注 1] |
零角形的概念同样可以推广到多面体中。在核物理学中，有时会将无法成为多面体的核壳层结构称为零面体（zerohedron）[17][18]。例如，部分文献将由2个粒子组成的结构之形状以零面体描述，其由2个顶点、1条边和0个面组成[16]。
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相关几何结构
[编辑]| 名称 | 种类 | 图像 | 符号 | 顶点数 | 边数 | 面数 | χ | 面的种类 | 对偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 零角形 | 退化多边形 | {0} | 0 | 任意 | （不适用） | （不适用） | （不适用） | 零边形 | |
| 零边形 | 退化多边形 | {0} | 任意 | 0 | （不适用） | （不适用） | （不适用） | 零角形 | |
| 空多边形 null polygon 0-gon zerogon |
退化多边形 | {0} | 0 | 0 | （不适用） | （不适用） | （不适用） | 自身对偶 | |
| 近零边形[8] | 近多边形 | 1 | 0 | （不适用） | （不适用） | （不适用） | |||
| 无边图 | 图结构 | （不适用） | 任意 | 0 | （不适用） | （不适用） | （不适用） | （不适用） | |
| 无边地区图 | 正则地区图 | {0,0}0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1个零边形 | 自身对偶 | |
| 零面体 | 退化多面体 | 未知 | 2 | 1 | 0 | 1 | 未定义 | 零角形二面体[注 2] | |
| 零角形二面体 | 退化多面体 | 未知 | 0 | 1 | 2 | 1 | 零角形 | 零面体[注 2] | |
| 空多胞形 | 抽象多胞形 正图形 |
无[注 3] | 0 | 0 | 0 | 0 | 不存在 | 自身对偶 |
参见
[编辑]
注释
[编辑]- ^ 顶点图主要是探讨面在顶点周围的分布，然而这种立体不存在面，因此无法探讨其顶点图。
- ^ 2.0 2.1 2.2 根据核壳层结构论文，其指出这种结构有2个顶点、1条边和0个面[16]，依照对偶多面体的定义，面和顶点将交换，其对偶多面体将会存在0个顶点、1条边和2个面，这种结构可以视作是一种多边形二面体的球面镶嵌，由一条边将球面分割成2个面，但不存在顶点，因此其面可以视为是一种0个顶点和1条边组成的零角形。
- ^ 此几何结构在施莱夫利符号中表示为空白，即空字串。
参考文献
[编辑]- ^ Przytycki, Jozef H. Positive knots have negative signature. arXiv preprint arXiv:0905.0922. 2009.
- ^ Heath, Daniel J. On classification of Heegaard splittings. Osaka Journal of Mathematics (Osaka University and Osaka City University, Departments of Mathematics). 1997, 34 (2): 497––523.
- ^ Hagge, Tobias J. on the necessity of reidemeister moves of type Ω2. arXiv preprint math/0404145 (Citeseer). 2008.
- ^ 4.0 4.1 Foozwell, Bell. The universal covering space of a Haken --manifold. arXiv preprint arXiv:1108.0474. 2011.
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- ^ BLACHOICE-ANGLE CUP幾何杯. 欣传媒. [2020-08-06]. （原始内容存档于2017-05-09）.
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 De Bruyn, Bart; et al. The glueing of near polygons. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin (The Belgian Mathematic Society). 2002, 9 (4): 621––630.
- ^ Hagge, Tobias. Every Reidemeister move is needed for each knot type. Proceedings of the American Mathematical Society. 2006, 134 (1): 295––301.
- ^ Foozwell, Bell and Rubinstein, Hyam. Introduction to the theory of Haken n-manifolds. Topology and geometry in dimension three. 2011: 71––84.
- ^ Gielis, Johan and Gerats, Tom. A botanical perspective on modeling plants and plant shapes in computer graphics. International Conference on Computer, Communication and Control Technologies. Austin, Texas. 2004.
- ^ Gielis, Johan. A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes. American journal of botany (Wiley Online Library). 2003, 90 (3): 333––338. doi:10.3732/ajb.90.3.333.
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- ^ 1 symmetry. symmetrys database - symmetry details. [2021-08-11]. （原始内容存档于2021-07-25）.
- ^ K1 Graph. Graphs database - graph details. [2021-08-11]. （原始内容存档于2021-07-26）.
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