提示 :此条目的主题不是
合蚌线 。
绿色为直线,黑色为直线外一点,所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线,紫色为内支,橙色为外支
极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线
在平面几何 中,蚌线 是一类曲线 ,可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说,过定点
O
{\displaystyle O}
的动直线与给定曲线
c
{\displaystyle c}
相交,动直线上满足“与交点距离为定长
k
{\displaystyle k}
”的点的轨迹定出的新曲线,就是原曲线
c
{\displaystyle c}
关于极点
O
{\displaystyle O}
和迹距
k
{\displaystyle k}
的蚌线。[ 1] [ 2] [ 3]
用解析几何 的方式来表述:平面曲线
c
{\displaystyle c}
的极坐标 方程为
ρ
=
f
(
θ
)
{\displaystyle \rho =f(\theta )}
,则以
ρ
=
f
(
θ
)
±
k
{\displaystyle \rho =f(\theta )\pm k}
为方程的曲线是
c
{\displaystyle c}
关于原点 的蚌线。[ 4]
“蚌线”也常特指原曲线为直线 的蚌线,即尼科美迪斯蚌线 。[ 5] 尼科美迪斯 是古希腊数学家,他利用这种蚌线来解决古希腊数学 三大难题中的两个——三等分角 和倍立方体 。[ 6]
灰色为直线,黑色为蚌线的极点 迹距小于极点与直线的距离,极点与内支分离
迹距等于极点与直线的距离,极点是内支的尖点
迹距大于极点与直线的距离,极点是内支的结点
有定直线
l
{\displaystyle l}
和直线外一固定点
O
{\displaystyle O}
,过点
O
{\displaystyle O}
的动直线与
l
{\displaystyle l}
相交,动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹,就是直线
l
{\displaystyle l}
关于极点
O
{\displaystyle O}
的蚌线
c
{\displaystyle c}
,即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支,两支的渐近线 都为
l
{\displaystyle l}
。[ 4] [ 5]
通常记
l
{\displaystyle l}
与点
O
{\displaystyle O}
的距离为
a
{\displaystyle a}
,迹距为
b
{\displaystyle b}
。根据
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
的关系,内支有三种不同形态:[ 4]
当
b
<
a
{\displaystyle b<a}
时,蚌线内支没有尖点或结点,极点与内支不相交。
当
a
=
b
{\displaystyle a=b}
时,蚌线内支有一个尖点,尖点与极点重合。
当
b
>
a
{\displaystyle b>a}
时,蚌线内支有一个结点,结点与极点重合。
尼科美迪斯蚌线是轴对称 图形,对称轴与
l
{\displaystyle l}
垂直并通过极点
O
{\displaystyle O}
。[ 3]
尼科米迪斯发明的工具,用来绘制直线蚌线的外支
古希腊数学家 尼科美迪斯 是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具,这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传,只有一部分通过帕普斯 的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出,存在“四种”蚌线,但只记录了“第一种”蚌线,也就是直线蚌线的外支,用来解决尺规作图 三大难题中的两个:三等分角 和倍立方体 。剩下的“三种”蚌线,很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。[ 7] [ 6]
帕普斯将该曲线称为“螺线”(κοχλοειδὴς γραμμή ),这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛 等人才改称该曲线为“蚌线”(κογχοειδὴς γραμμή )。[ 7]
17世纪的大数学家艾萨克·牛顿 认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线,并利用蚌线构造出多种三次平面曲线 。但及至当代,蚌线变得很少被数学家研究和关注。[ 8] [ 9]
借助蚌线作出长度为
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
的线段
作线段
A
B
=
1
{\displaystyle AB=1}
。以点
A
{\displaystyle A}
为圆心 、
A
B
{\displaystyle AB}
为半径 作圆 ,以点
B
{\displaystyle B}
为圆心、
A
B
{\displaystyle AB}
为半径作圆,交于点
C
{\displaystyle C}
。
过点
A
{\displaystyle A}
作线段
A
C
{\displaystyle AC}
的垂线
l
{\displaystyle l}
。以点
C
{\displaystyle C}
为极点、
A
B
{\displaystyle AB}
为迹距作直线
l
{\displaystyle l}
的蚌线外支。
延长
B
A
{\displaystyle BA}
交蚌线于点
D
{\displaystyle D}
。延长
A
B
{\displaystyle AB}
交圆
B
{\displaystyle B}
于点
E
{\displaystyle E}
。连接
C
D
{\displaystyle CD}
交
l
{\displaystyle l}
于点
F
{\displaystyle F}
。线段
C
F
{\displaystyle CF}
的长度即为
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
。[ 7]
尼科美迪斯的几何证明
作长方形
A
B
G
H
{\displaystyle ABGH}
,
A
H
=
B
G
=
2
A
B
=
2
G
H
{\displaystyle AH=BG=2AB=2GH}
。
延长
D
H
{\displaystyle DH}
,延长
B
G
{\displaystyle BG}
,交于点
K
{\displaystyle K}
。
连接
E
H
{\displaystyle EH}
,交
B
G
{\displaystyle BG}
于点
L
{\displaystyle L}
,点
L
{\displaystyle L}
是
B
G
{\displaystyle BG}
中点。
取
A
B
{\displaystyle AB}
中点
M
{\displaystyle M}
,连接
M
C
{\displaystyle MC}
。
A
D
⋅
B
D
=
(
M
D
−
M
A
)
⋅
(
M
D
M
B
)
{\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD MB)}
A
D
⋅
B
D
M
A
2
=
M
D
2
{\displaystyle AD\cdot BD MA^{2}=MD^{2}}
A
D
⋅
B
D
M
A
2
M
C
2
=
M
D
2
M
C
2
{\displaystyle AD\cdot BD MA^{2} MC^{2}=MD^{2} MC^{2}}
A
D
⋅
B
D
A
C
2
=
C
D
2
{\displaystyle AD\cdot BD AC^{2}=CD^{2}}
△
K
B
D
∼
△
K
G
H
∼
△
H
A
D
{\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}
K
G
:
G
H
=
H
A
:
A
D
{\displaystyle KG:GH=HA:AD}
∵
G
H
=
G
L
,
A
H
=
2
A
B
=
A
E
{\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}
∴
K
G
:
G
L
=
A
E
:
A
D
=
F
C
:
F
D
{\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}
∵
F
D
=
A
B
=
G
L
{\displaystyle \because FD=AB=GL}
∴
K
G
=
F
C
{\displaystyle \therefore KG=FC}
K
L
=
K
G
G
L
=
F
C
F
D
=
C
D
{\displaystyle KL=KG GL=FC FD=CD}
K
L
2
=
C
D
2
{\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}
K
L
2
=
(
K
L
G
L
)
⋅
(
K
L
−
G
L
)
G
L
2
{\displaystyle KL^{2}=(KL GL)\cdot (KL-GL) GL^{2}}
K
L
2
=
K
B
⋅
K
G
G
L
2
{\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG GL^{2}}
C
D
2
=
A
D
⋅
B
D
A
C
2
{\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD AC^{2}}
∴
K
B
⋅
K
G
G
L
2
=
A
D
⋅
B
D
A
C
2
{\displaystyle \therefore KB\cdot KG GL^{2}=AD\cdot BD AC^{2}}
K
B
⋅
K
G
=
A
D
⋅
B
D
{\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}
A
D
:
K
G
=
K
B
:
B
D
=
K
G
:
G
H
=
H
A
:
A
D
{\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}
H
A
:
A
D
=
A
D
:
K
G
=
K
G
:
G
H
{\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}
H
A
=
2
G
H
{\displaystyle HA=2GH}
∴
K
G
=
2
3
G
H
{\displaystyle \therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH}
[ 7]
借助蚌线三等分任意锐角
作任意直角三角形
△
O
A
B
{\displaystyle \triangle OAB}
,点
A
{\displaystyle A}
为垂足。以点
O
{\displaystyle O}
为极点、
2
O
B
{\displaystyle 2\ OB}
为迹距作直线
A
B
{\displaystyle AB}
的蚌线外支。
过点
B
{\displaystyle B}
作直线
A
B
{\displaystyle AB}
的垂线,交蚌线于点
C
{\displaystyle C}
。
O
C
{\displaystyle OC}
就是
∠
A
O
B
{\displaystyle \angle AOB}
的三等分线。[ 7]
在极坐标系 中,设点
O
{\displaystyle O}
为坐标原点 ,则直线
l
{\displaystyle l}
和蚌线
c
{\displaystyle c}
的方程可以表示为:[ 4]
l
:
ρ
=
a
sec
θ
{\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}
c
:
ρ
=
a
sec
θ
±
b
{\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}
(
−
π
2
<
θ
<
π
2
,
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{ })}
在直角坐标系 中,设点
O
{\displaystyle O}
为坐标原点 ,则直线
l
{\displaystyle l}
和蚌线
c
{\displaystyle c}
的方程可以表示为:[ 4]
l
:
x
=
a
{\displaystyle l:\ x=a}
c
:
(
x
−
a
)
2
(
x
2
y
2
)
=
b
2
x
2
{\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2} y^{2})=b^{2}x^{2}}
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{ })}
或用参数方程 表示为:[ 4]
{
x
=
a
±
b
cos
θ
y
=
a
tan
θ
±
b
sin
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}
(上下正负号同号,
−
π
2
<
θ
<
π
2
,
a
,
b
∈
R
{\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{ }}
)
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线 。[ 4]
帕斯卡蜗线 是一类外旋轮线 ,同时也是一类特殊的蚌线,是圆 关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上,所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径 时,就是心脏线 。[ 1] [ 2]
作圆
O
{\displaystyle O}
关于圆上一个定点
A
{\displaystyle A}
、迹距等于圆的半径 的蚌线。对于圆上任意一点
B
{\displaystyle B}
,延长
B
O
{\displaystyle BO}
至圆外,与所作蚌线交于点
C
{\displaystyle C}
。根据蚌线的性质,易知
∠
A
C
B
=
1
3
∠
A
O
B
{\displaystyle \angle ACB={1 \over 3}\angle AOB}
。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线 。[ 2]
圆对圆外一点的蚌线,迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最大距离,大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离
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