关于组合数学的计数原理,请见“
乘法原理”。
乘积法则(英语:Product rule),也称积定则、莱布尼兹法则,是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
若已知两个可导函数及其导数,则它们的积的导数为:
这个法则可衍生出积分的分部积分法。
人们将这个法则的发现归功于莱布尼兹,以下是他的论述:设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么,uv的微分是:
由于du·dv的可忽略性,因此有:
两边除以dx,便得:
若用拉格朗日符号来表达,则等式记为
- 假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则,可得f'(x) = 2x sin(x) x2cos(x)(这是因为x2的导数是2x,sin(x)的导数是cos(x))。
- 乘积法则的一个特例,是“常数因子法则”,也就是:如果c是实数,f(x)是可微函数,那么cf(x)也是可微的,其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
- 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。
假设
且f和g在x点可导。那么:
现在,以下的差
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
这个区域可以分割为两个矩形,它们面积的和为:
因此,(1)的表达式等于:
如果(5)式中的四个极限都存在,则(4)的表达式等于:
现在:
因为当w ⊟ x时,f(x)不变;
因为g在x点可导;
因为f在x点可导;以及
因为g在x点连续(可导的函数一定连续)。
现在可以得出结论,(5)的表达式等于:
设f = uv,并假设u和v是正数。那么:
两边求导,得:
把等式的左边乘以f,右边乘以uv,即得:
设
且f和g在x点可导。那么:
- .
- 若有个函数,则:
- (莱布尼兹法则)若均为可导次的函数,则的次导数为:
其中是二项式系数。
乘积法则的一个应用是证明以下公式:
其中n是一个正整数(该公式即使当n不是正整数时也是成立的,但证明需要用到其它方法)。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1,
假设公式对于某个特定的k成立,那么对于k 1,我们有:
因此公式对于k 1也成立。