面 (幾何)

在立體幾何中，立體幾何體的邊界被稱作面或表面^[1]^[2]，更嚴謹地說，面是立體幾何體的一個平坦表面^[3]，而不平坦的面通常稱為曲面，而所有表面的總和稱為表面積^[4]。在高維度幾何以及高維的多胞形中，面也被用來指代構成多胞形的一個組成元素，通常會跟隨其維度一同稱呼，例如三維的元素稱為3-面。^[5]

多邊形面

在基礎幾何學中，面是指位於多面體邊界的多邊形^[5]，換句話說即多面體是一個由多邊形構成的三維幾何體，構成多面體的這些多邊形就被稱為面^[6]。

例如：正方體有六個面，三稜錐有四個面。廣義來說，面也可用來指代四多胞形的一個二維邊界，就如我們說四維超正方體有24個正方形面。

面的例子
凸正多面體	星形正多面體	正鑲嵌圖	雙曲鑲嵌	四維z多胞體
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
立方體的每個頂點都是3個正方形面的公共頂點^[7]	小星形十二面體的每個頂點都是5個五角星面的公共頂點^[8]	正方形鑲嵌的每個頂點都是4個正方形面的公共頂點^[9]	五階正方形鑲嵌的每個頂點都是5個正方形面的公共頂點^[10]	超立方體的每條邊都是3個正方形面的公共稜^[11]

多面體的面的數量

在三維空間中，任何凸多面體的歐拉示性數為2。歐拉示性數 $\chi$ 可以通過以下公式計算：

\chi :=V-E F,

^{[註 1]}

以上式子中，V 是頂點的數量，E 是邊的數量，F 是面的數量。例如，正方體有12條邊，8個頂點和6個面。那麼我們可以計算得正方體的歐拉示性數為2。

維面

在幾何學中，維面（Facet）又稱為超面（hyperface^[12]）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素^[13]

多維面

在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中，有時會稱為k維胞，這一用法並未限定元素的所屬維度。^[5]^[14]^[15]例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形P，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）^[5]^[15]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。^[14]^[15]

參見

註釋

^ 這行式子應理解為： $\chi$ 的定義式是 $V-E F$
^ 在晶體學中有多個面的概念，如反映面是通過反映這一對稱操作得到的，用符號P表示，如單斜晶系晶體反映面之數目為1。此外，還有滑移面的概念。
晶體學中的另一個面的概念是晶體的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[16]

參考來源

^ 【表面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
^ 【面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
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^ 錢逸泰. 結晶化學導論（第3版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

[12] 這行式子應理解為： $\chi$ 的定義式是 $V-E F$

[18] 在晶體學中有多個面的概念，如反映面是通過反映這一對稱操作得到的，用符號P表示，如單斜晶系晶體反映面之數目為1。此外，還有滑移面的概念。
晶體學中的另一個面的概念是晶體的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[16]

[1] 【表面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.

[2] 【面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.

[3] Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.

[4] Weisstein, Eric W. (編). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[m-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-10） .

[6] Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-13）

[book_van2003problems-7] Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.

[8] Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (幫助) pdf （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[9] Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

[10] Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

[Hypercube-11] Weisstein, Eric W. (編). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[13] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225

[14] Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17

[g-15] 14.0 ^14.1 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始內容存檔於2013-10-31） .

[z-16] 15.0 ^15.1 ^15.2 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始內容存檔於2019-06-12） .

[17] 錢逸泰. 結晶化學導論（第3版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

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[註 2]

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閱論編幾何學術語
點	頂點交點中點角同界角極值點最值點臨界點駐點鞍點
直線和曲線	線段射線直線切線（主）法線副法線曲線圓錐曲線雙曲線拋物線正弦曲線蚌線蝸線螺線（阿基米德螺線、等角螺線……）擺線（最速降線問題）懸鏈線曳物線漸開線漸屈線漸近線測地線邊周界弦弧矢垂直平分線代數曲線橢圓曲線超橢圓星形線三尖瓣線方圓形勒洛三角形
平面圖形	圓（廣義圓）橢圓扇形弓形環形多邊形三角形四邊形五邊形六邊形多邊形正多邊形梯形平行四邊形菱形矩形正方形鷂形卵形線梭形星形五角星六角星
立體圖形	多面體正多面體四面體長方體立方體平行六面體稜柱反稜柱稜錐稜台圓柱體圓錐圓台橢球（長球體、扁球體）球體球缺球冠球枱準線母線
曲面	二次曲面旋轉曲面拋物面雙曲面馬鞍面球面橢球面類球面環面莫比烏斯帶流形黎曼曲面
高維空間	超平面超面超曲面胞多胞形超球體超方形超立方體克萊因瓶四維柱體柱
圖形關係	相似全等對稱平行垂直相交相切相離鏡像旋轉反演截面縮放
三角形關係	相似三角形全等三角形
量	距離長度周長弧長高度面積表面積體積容積角度曲率撓率離心率凹凸性有向曲面可展曲面直紋曲面
作圖	尺直尺三角尺圓規尺規作圖二刻尺作圖
分支	平面幾何立體幾何三角學解析幾何微分幾何拓撲學圖論摺紙數學歐幾里得幾何非歐幾里得幾何（雙曲幾何、球面幾何……）分形
理論	定理公理定義數學證明
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