整數(英語:integer)在電腦應用上也稱為整型,是序列中所有的數的統稱,包括負整數、零(0)與正整數。和自然數一樣,整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示粗體或,源於德語單詞Zahlen(意為「數」)的首字母。
在代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。
整數是一個集合,通常可以分為正整數、零(0)和負整數。正整數(符號:Z 或)即大於0的整數,是正數與整數的交集。而負整數(符號:Z-或)即小於0的整數,是負數與整數的交集。和整數一樣,兩者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外,通常將0與正整數統稱為非負整數(符號:Z 0或),而將0與負整數統稱為非正整數(符號:Z-0或)。在數論中自然數通常被視為與正整數等同,即1,2,3等,但在集合論和計算機科學中自然數則通常是指非負整數,即0,1,2等。
下表給出任何整數的加法和乘法的基本性質。
性質 |
加法 |
乘法
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封閉性
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是整數 |
是整數
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結合律
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交換律
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存在單位元
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存在反元素
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在整數集中,只有1或-1對於乘法存在整數反元素,其餘整數關於乘法的反元素為,都不為整數。
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分配律
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全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。
是一個加法循環群,因為任何整數都是若干個1或-1的和。1和-1是僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與同構。
是一個全序集,沒有上界和下界,其序列如下:
一個整數大於零則為正,小於零則為負。零既非正也非負。
整數的序列在代數運算下是可以比較的,表示如下:
- 若且,則(加法)
- 若且,則;若,則(乘法)
整數環是一個歐幾里德域。
的基數
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的基數(或勢)是ℵ0,與相同。這可以從建立一對射函數到來證明,亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件,例如:
當該函數的定義域僅限於,則證明與可建立一一對應的關係,即兩集等勢。
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可數集 |
- 自然數 ()
- 整數 ()
- 有理數 ()
- 規矩數
- 代數數 ()
- 週期
- 可計算數
- 可定義數
- 高斯整數 ()
- 艾森斯坦整數
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合成代數 |
- 可除代數:實數 ()
- 複數 ()
- 四元數 ()
- 八元數 ()
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凱萊-迪克森結構 |
- 實數 ()
- 複數 ()
- 四元數 ()
- 八元數 ()
- 十六元數 ()
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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分裂 形式 | |
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其他超複數 | |
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其他系統 | |
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