可逆元

单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 $R\,$内的可逆元是指一 $R\,$的可逆元，即一元素 $u\,$使得存在一于 $R\,$内的 $v\,$有下列性质： $uv=vu=1_{R}\,$，其中 $1_{R}\,$是乘法单位元。

亦即， $u\,$是 $R\,$内乘法幺半群的一可逆元素。

可逆元群

主条目：单位群

$R\,$的可逆元组成了一于乘法下的群$U(R)\,$ ，称做 $R\,$的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有时亦被标记成R^*或R^×。

在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R ⊟ S 都可导出一群同态U(f) : U(R) ⊟ U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R^* = R \ {0}。

例子

• 在整数环$\mathbb {Z}$里，可逆元为±1。其每一轨道内都有两个元素n和−n。

• 任一单位根均是某一单作环$R$内的可逆元。（若$r$是一单位根，且$r^{n}=1$，则$r^{-1}=r^{n-1}$亦为$R$的元素）。
• 在代数数论里，狄利克雷单位定理证明了许多代数整数环内可逆元的存在域。例如，在环$\mathbb {Z} ({\sqrt {5}})$，$({\sqrt {5}} 2)({\sqrt {5}}-2)=1$，因此$({\sqrt {5}} 2),({\sqrt {5}}-2),1$都是可逆元。
• 在环$M(n,F)$，于一体$F$上的$n\times n$矩阵内，其可逆元恰好就是可逆矩阵。