数学上,数域F上的n阶正交群,记作O(n,F),是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群,由
- 给出。
这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。
更一般地,F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群,称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵为2,那么1 = −1,从而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时,很多作者用另一种定义,定义SO(n,F)为迪克森不变量的核,这样它在O(n,F)中总有指数2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代数群,因为如果一个矩阵是正交的条件,即转置等于逆矩阵,能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。
实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支,SO(n,R)是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释:
O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群,E(n)是Rn的等距群;O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。
SO(n,R)是E (n)的子群,E (n)是“直接”等距,即保持定向的等距;SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群;如果n是偶数,对SO(n,R)也对。如果n是奇数,O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。
取合适的正交基,等距是
的形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。
圆的對稱群是O(2,R),也称为Dih(S1),这里S1是模长1複数的乘法群。
SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1(圆群)。这个同构将複数exp(φi) = cos(φ) i sin(φ)映到正交矩阵
- 。
群SO(3,R),视为3维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑方面,对n > 2,SO(n,R)的基本群是2阶循环,而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴(旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠)
李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成,李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。
保持R3原点不动的同构,组成群O(3,R),能分成如下几类:
- SO(3,R):
- 恒同
- 绕一个过原点的轴转动不等于180°
- 绕一个过原点的轴转动180°
- 以上与关于原点的点反演(x映到−x)复合,分别为:
- 关于原点的点反演
- 绕一轴旋转一个不等于180°的角度,与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
- 关于一个过原点的平面的反射
特别地指出4阶和5阶正交群,在更宽泛的意义下6阶也是,称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。
作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n),由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数,两个子群不相交,他们是直积:;如果n是偶数,两个子群的交是,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:。
我们可以类似地定义CSO(n),这时总有。
複数域C上,O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群,这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支,SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时,这些群非紧。
和实情形一样,SO(n,C)不是单连通的,对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群,而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。
O(n,C)和SO(n,C)的複李代数由斜对称複n×n矩阵组成,李括号由交换子给出。
低维实正交群是熟悉的空间:
由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡。
正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列
的正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成并)。
是的齐性空间,从而有如下纤维丛:
可以理解为:正交群 传递地作用于单位球面上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射是自然包含。
从而包含是(n-1) -连通的,故同伦群稳定,对有,所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。
通过博特周期性定理,,从而O的同伦群以8为周期,即 ,这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
通过cluching construction,稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:。
设(使得满足周期性),我们得到:
最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
- 保持/反定向(这个类存留到从而稳定)
得出:
- 即自旋群
- ,有到的满射,从而后一个群消失。
由李群一般性事实,总消失,是自由阿贝尔群。
从向量丛的观点来看,是上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差,所以
- 是维数。
利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用、O,以及O/U有两个分支,和有个分支,其实是连通的。
一小部分结论:[1]
- 是维数
- 是定向
- 是自旋
- 是拓扑量子场理论
令,以及为射影线上的重複线丛,是其K-理论。注意到,这些得出相应球面上的向量丛,以及:
- 由生成
- 由生成
- 由生成
- 由生成
正交群也能定義在有限域上,這里是一個質數的冪。在這樣的域上定義正交群,偶數維時有兩類:和;奇數維有一類:。
如果是正交群作用的向量空間,它可以寫成正交直和:
- ,
這里是雙曲線而不包含奇異向量。如果,那么是正類型;若那么有偶維數;若有維數2,則是負類型。
在n = 1的特例,是階為的二面體群。
當特征大于2時,記O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。關于這些群的階數我們有以下公式
- 。
如果是中的平方元素
- 。
- 如果不是中的平方元素
- 。
对偶数维正交群,迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态,是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上,行列式总为1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素,而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。
特征2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同:
- 任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為2的4維向量空間(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定義稍不同。特征2域,垂直于一個向量u的反射將v映為v B(v,u)/Q(u)·u,這里B是一個雙線性形式,Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是將v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u,當奇特征和零特征時與比較兩者不同。
- 在特征2的奇維數2n 1時,完全域上的正交群和2n維辛群相同。事實上特征2時的辛形式時可交換的,而維數為奇數故總有一個1維的核,模去核的商是一個2n維辛空間,正交群作用在它上面。
- 在特征2的偶維數,正交群是辛群的一個子群,因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。
旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素
- F*/F*2
的同態,将关于模长为n向量的反射映到F*/F*2中的n。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
代数群的伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系;
但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列:
这里μ2是单位根的代数群;在一个特征非2的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。
从H0(就是取值于F中点的群OV(F))到H1(μ2)的连接同态本质上是spinor模,因为 H1(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。
物理中,特别是在Kaluza-Klein紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下:
正交群O(n)也是一些李群的重要子群:
群O(10)在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。
- ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105. [2008-10-18]. (原始内容存档于2021-02-11).