馬丁公理

在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由唐纳德·A·馬丁和羅伯特·M·梭羅維引進的公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。

用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統${\mathfrak {c}}$的基數，其行為會與$\aleph _{0}$大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。

陳述

給定任意的基數$\kappa$，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做$\operatorname {MA} (\kappa )$：

對於任意滿足可數鏈條件的偏序$P$及任意$P$的稠密集的集族$D$而言，若$D\leq \kappa$，則存在一個$P$上的濾子$F$，使得對於任意的$d\in D$而言，$F\cap d$非空。

由於這是一個使得${\textstyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下：

馬丁公理（MA）：對於任意的$\kappa <{\mathfrak {c}}$，$\operatorname {MA} (\kappa )$成立

在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈$A$是$P$的子集，且這子集使得$A$的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與樹等情況下的反鏈是不同的。

${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$為真，而這即是羅修娃－西葛斯基引理。

${\textstyle \operatorname {MA} (2^{\aleph _{0}})}$為假：$\left[0,1\right]$是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是$2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與$\operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})$等價的條件）

與$\operatorname {MA} (\kappa )$等價的陳述

以下陳述與$\operatorname {MA} (\kappa )$等價：

• 若$X$是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間，那$X$不會是$\kappa$個或更少的無處稠密集的聯集。
• 若$P$是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集，而$Y$是$P$的餘有限子集的集族，且$\left\vert Y\right\vert \leq \kappa$，則存在一個向上的集合$A$使得$A$會見所有$Y$的元素。
• 若$A$是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而$F$是$A$的子集的集族，且$\left\vert F\right\vert \leq \kappa$，那就存在一個布爾同態$\Phi :A\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，使得對於任意$F$中的$X$而言，要不有一個$a\in X$，使得$\Phi (a)=1$，要不有個$X$有個上界$b$，使得$\Phi (b)=0$

結果

馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果：

• 在波蘭空間上的無原子σ-有限博雷爾測度中，$\kappa$個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的$\kappa$個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。
• 對於一個緊緻豪斯多夫空間$X$而言，若$\left\vert X\right\vert \leq 2^{\kappa }$，則這空間是序列緊緻的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
• 在$\mathbb {N}$上，沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於$\kappa$。
• 等價地，對於任意的$x\in \beta \mathbb {N} \ \mathbb {N}$，有$\chi (x)\geq \kappa$，此處的$\chi$是$x$的特徵，因此$\chi (\beta \mathbb {N} )\geq \kappa$。
• ${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})}$蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說蘇斯林線不存在。
• 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；細拉用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。

後續發展

• 馬丁公理的一般化版本為真力迫公理以及馬丁最大值。
• 謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。

延伸閱讀

• Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9. 
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.