正割

正割
性質
奇偶性	偶
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi {\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k 90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	$\left|\sec x\right|\geq 1$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
當x=0	1
當x= ∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	$x=\left(2k 1\right){\tfrac {\pi }{2}}$ （x=180°k 90°）
根	無實根
臨界點	$k\pi$ （180°k）
不動點	當x軸為弧度時： -2.07393280909121... （-118.827596954637699...°） -4.487669603341... （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871... （281.734000600083215...°） 7.72415319239641... （442.5613782368157...°） ... 當x軸為角度時： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一個整數。

正割（Secant，$\sec$）是三角函数的一种。它的定义域是不含$k\pi {\tfrac {\pi }{2}}$（或180°k 90°，其中$k$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。

正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在$2k\pi$（360°k）到$2k\pi {\frac {\pi }{2}}$（360°k 90°）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。

在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

正割的数学符号为$\sec$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

直角三角形，$\angle C$為直角，$\angle A$的角度為 $\theta$， 對於$\angle A$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

$\sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!$

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left({x,y}\right)$是角的终边上一点，$r={\sqrt {x^{2} y^{2}}}>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的正割定义为：

$\sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\sec \theta ={\frac {1}{x}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数：

$\sec \theta =\sec \left(\theta 2\pi k\right)=\sec \left(\theta 360^{\circ }k\right)$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}$

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

$\sec x=1 {\frac {x^{2}}{2}} {\frac {5x^{4}}{24}} {\frac {61x^{6}}{720}} {\frac {277x^{8}}{8064}} {\frac {50521x^{10}}{3628800}} ...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.$

其中$E_{n}$为欧拉数。

另外，我们也有

$\sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1 2n)}{(\pi 2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.$

微分方程定義

$\sec 'x\ =\sec x\tan x$

$\sec x=\left(\ln \left|\sec x \tan x\right|\right)'$

指數定義

$\sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta } e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,$

恆等式

用其它三角函数来表示正割

函數	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\sec \theta$	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1 \tan ^{2}\theta }}$	${{\sqrt {1 \cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$	$\sec \theta \$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$

和差角公式

$\sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

巴罗的正割積分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分

$\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}} {\frac {\phi }{2}}\right)$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 餘割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波