将一根单摆连接在另一根的尾部,即为双摆。
双摆 是将一根单摆 连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同,是一种具有混沌 性质的简单动力系统 [ 1] [ 2] 。
可以考慮許多不同種類的双摆:二個擺的長度及重量可能相同,也可能不同。二個擺可能都是單擺,也有可能是複擺(compound pendulum),其運動可能限制在二維空間,也可以在三維空間內進行。在以下的分析中,二個擺的擺長l 及質量都相同m ,運動限制在二維空間內。
双摆
双摆的運動,依運動方程進行數值積分 所得
双摆的軌跡
複擺的質量假設是延著其長度均勻分佈,則其複擺的質心 是在中點,複擺的臂對中點的轉動慣量 為I = 1 / 12 ml 2 。
比較方便定義系統位形空间 的方式是用複擺臂和垂直線之間的夾角為廣義座標 。角度名稱為θ 1 及θ 2 。二桿質心的位置可以用二個座標表示。若笛卡尔坐标系 的原點是在第一個擺(最上方擺)的固定點,則其第一個擺的質心在:
x
1
=
l
2
sin
θ
1
y
1
=
−
l
2
cos
θ
1
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}
第二個擺的質心在:
x
2
=
l
(
sin
θ
1
1
2
sin
θ
2
)
y
2
=
−
l
(
cos
θ
1
1
2
cos
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1} {\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1} {\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}
上述資訊已經可以建立拉格朗日量(Lagrangian)。
双摆系統的拉格朗日量 為
L
=
kinetic energy
−
potential energy
=
1
2
m
(
v
1
2
v
2
2
)
1
2
I
(
θ
˙
1
2
θ
˙
2
2
)
−
m
g
(
y
1
y
2
)
=
1
2
m
(
x
˙
1
2
y
˙
1
2
x
˙
2
2
y
˙
2
2
)
1
2
I
(
θ
˙
1
2
θ
˙
2
2
)
−
m
g
(
y
1
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2} v_{2}^{2}\right) {\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2} {{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1} y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2} {{\dot {y}}_{1}}^{2} {{\dot {x}}_{2}}^{2} {{\dot {y}}_{2}}^{2}\right) {\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2} {{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1} y_{2}\right)\end{aligned}}}
第一項是質心的平移动能 ,第二項是擺延著質心旋轉的轉動動能,最後一項是双摆在均勻重心場下的势能 。其點標示表示變數的时间导数 。
將以上的座標代入,重組後可得
L
=
1
6
m
l
2
(
θ
˙
2
2
4
θ
˙
1
2
3
θ
˙
1
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
)
1
2
m
g
l
(
3
cos
θ
1
cos
θ
2
)
.
{\displaystyle L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2} 4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2} 3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right) {\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1} \cos \theta _{2}\right).}
這裡只有一個守恆量(能量),沒有守恆的動量,二個廣義的動量可以表示為
p
θ
1
=
∂
L
∂
θ
˙
1
=
1
6
m
l
2
(
8
θ
˙
1
3
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
)
p
θ
2
=
∂
L
∂
θ
˙
2
=
1
6
m
l
2
(
2
θ
˙
2
3
θ
˙
1
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}} 3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}} 3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}}
上式可以求得
θ
˙
1
=
6
m
l
2
2
p
θ
1
−
3
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
p
θ
2
16
−
9
cos
2
(
θ
1
−
θ
2
)
θ
˙
2
=
6
m
l
2
8
p
θ
2
−
3
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
p
θ
1
16
−
9
cos
2
(
θ
1
−
θ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}}
運動方程式為
p
˙
θ
1
=
∂
L
∂
θ
1
=
−
1
2
m
l
2
(
θ
˙
1
θ
˙
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
3
g
l
sin
θ
1
)
p
˙
θ
2
=
∂
L
∂
θ
2
=
−
1
2
m
l
2
(
−
θ
˙
1
θ
˙
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
g
l
sin
θ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2}) 3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2}) {\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}}
最後四個方程是有系統目前狀態時,系統隨時間演進的顯式方程。不太可能再進一步求得方程的積分解析解,得到θ 1 和θ 2 時間顯函數的解。不過利用龙格-库塔法 或其他數值方式,可以進行數值積分 來求解。
複擺模擬示意圖。
双摆不同初始條件下,翻倒時間的圖
延时摄影拍摄的双摆轨迹
双摆的運動是混沌 運動,且對初始條件 非常敏感。右圖是雙擺在不同初始條件下,是否會翻倒(成為倒擺)的圖。其θ 1 初始值的範圍是在x 方向的−3到3,而θ 2 初始值的範圍是在y 方向的−3到3。點的顏色說明擺在以下時間內會翻倒:
10√l ⁄g (綠色)
100√l ⁄g (紅色)
1000√l ⁄g (紫色)
10000√l ⁄g (蓝色)
三個初始位置幾乎相同的双摆,一段時間後軌跡的發散,表示系統的混沌特性
若在10000√l ⁄g 時間後,仍然不會翻倒,其顏色為白色。
中心白色區域的邊界可以依能量守恆推得,為以下的曲線:
3
cos
θ
1
cos
θ
2
=
2.
{\displaystyle 3\cos \theta _{1} \cos \theta _{2}=2.}
因此若
3
cos
θ
1
cos
θ
2
>
2
,
{\displaystyle 3\cos \theta _{1} \cos \theta _{2}>2,}
以能量的關係,双摆不可能翻倒。在此區域外,以能量來說,双摆有可能翻倒,但是否會翻倒本身是很複雜的問題。若雙擺的末端是點質量 ,不是質量均勻分佈的桿子,情形類似[ 3] 。
雙擺沒有自然共振頻率,因此可用在大樓抗震設計的雙擺系統 中,大樓本身是主要的倒擺,而上面又有一個質量,形成倒雙擺。
Meirovitch, Leonard. Elements of Vibration Analysis 2nd. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1986. ISBN 0-07-041342-8 .
Eric W. Weisstein, Double pendulum (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animations of those equations).
Peter Lynch , Double Pendulum , (2001). (Java applet simulation.)
Northwestern University, Double Pendulum (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) , (Java applet simulation.)
Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum , (2005).