σ-有限测度

σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 來說，若测度 $\mu$ 其對任意 $A\in \Sigma$ 的取值 $\mu (A)$ 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。若有限測度的母集合 $X$ 可表示为 $\Sigma$ 的某可測集合序列 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 的并集：

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$

則么就称这个测度为σ-有限测度。進一步的，如果 $X$ 的某个子集能够表示为 $\Sigma$ 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。

例子

• 勒贝格测度：实数集$\mathbb {R}$上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集$\mathbb {R}$的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为$\mathbb {R}$可以表示为所有形如$[-n,n]$的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于$2n$）：

  $\mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].$

• 计数测度：实数集$\mathbb {R}$上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集。不过，自然数集$\mathbb {N}$上的计数测度就是σ-有限测度，因为全集$\mathbb {N}$可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：

  $\mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.$

• 局部紧群：设$G$是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群$G$上的哈尔测度是σ-有限测度。

性质

σ-有限测度中，全集可以表示为${\mathcal {A}}$中的可数个有限测度子集的并集：$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},$

那么$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})$，也就是说$\left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$也是一系列有限测度的子集，并且$C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n 1}\subset \cdots$，所以$\mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n 1})\leqslant \cdots$。随着下标增大，$C_{n}$的测度越来越大，趋向正无穷大，并且$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}$。这称为全集的升序表示。而如果令：

$C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},$，

那么$\left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}$。$\left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

半有限和一致σ-有限

与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集$\Omega$能够表示为${\mathcal {A}}$中的可数个有限测度子集的并集：$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$，而且要求存在一个正实数$m$，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于$m$。

$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,$

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度$\mu _{c}$：

$\forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k$

就不是一致σ-有限测度。

半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果$(\Omega ,{\mathcal {A}})$上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是σ-有限测度。

与概率测度的等价性

给定$(\Omega ,{\mathcal {A}})$，其上的任何σ-有限测度$\mu$都等价于一个$(\Omega ,{\mathcal {A}})$的概率测度。具体的构造方法是：令$\left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$为全集$\Omega$的一个不交覆盖（划分），并且每个$B_{n}$在$\mu$下的测度都是有限的；再令$\left(\omega _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$为一个由正实数构成的数列，并且级数和

$\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.$

那么以下方式定义的测度$\nu$：

$\forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}$

就是一个与$\mu$等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。

参见

• 富比尼定理
• 叶戈罗夫定理
• 拉东-尼科迪姆定理