正交群

數學上，數體F上的n階正交群，記作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL(n,F)的子群，由

$\mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;$給出。

這裏Q^T是Q的轉置。實數體上的經典正交群通常就記為O(n)。

更一般地，F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。

每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n×n正交矩陣組成一個O(n,F)的正規子群，稱為特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵為2，那麼1 = −1，從而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指數是2。特徵2且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義SO(n,F)為迪克森不變量的核，這樣它在O(n,F)中總有指數2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代數群，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。

實數體上的正交群

實數體R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不會引起誤會時經常記為O(n)和SO(n)。他們是n(n-1)/2 維實緊李群。O(n,R)有兩個連通分支，SO(n,R)是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。

實正交群和特殊正交群有如下的解釋：

O(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群，E(n)是Rⁿ的等距群；O(n,R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面對稱的物件的對稱群。

SO(n,R)是E (n)的子群，E (n)是「直接」等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱物件的旋轉群。

{ I, −I }是O(n,R)的正規子群並是特徵子群；如果n是偶數，對SO(n,R)也對。如果n是奇數，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直積。k重旋轉循環群C_k對任何正整數k都是O(2,R)和SO(2,R)的正規子群。

取合適的正交基，等距是

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

的形式。這裏矩陣R₁,...,R_k是2×2旋轉矩陣。

圓的對稱群是O(2,R)，也稱為Dih(S¹)，這裏S¹是模長1複數的乘法群。

SO(2,R) (作為李群)同構於圓S¹（圓群）。這個同構將複數exp(φi) = cos(φ) i sin(φ)映到正交矩陣

${\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}$。

群SO(3,R)，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式

在代數拓撲方面，對n > 2，SO(n,R)的基本群是2階循環，而自旋群Spin(n)是其萬有覆疊。對n = 2基本群是無限循環而萬有覆疊對應於實數軸（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆疊）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代數由斜對稱實n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。這個李代數經常記為 o(n,R)或so(n,R)。

保持原點的3維同構

保持R³原點不動的同構，組成群O(3,R)，能分成如下幾類：

• SO(3,R):
  • 恆同
  • 繞一個過原點的軸轉動不等於180°
  • 繞一個過原點的軸轉動180°
• 以上與關於原點的點反演（x映到−x）複合，分別為：
  • 關於原點的點反演
  • 繞一軸旋轉一個不等於180°的角度，與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
  • 關於一個過原點的平面的反射

特別地指出4階和5階正交群，在更寬泛的意義下6階也是，稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

共形群

主條目：共形群

作為保持距離的同構，正交轉換也保角，從而是共形轉換，但是不是所有的共形轉換都是正交轉換。Rⁿ的線性共形映射構成的群記作CO(n)，由正交群和收縮的乘積給出。如果n是奇數，兩個子群不相交，他們是直積：$\operatorname {CO} (2n 1)=\operatorname {O} (2n 1)\times \mathbf {R}$；如果n是偶數，兩個子群的交是$\pm 1$，所以這不是直積，但這是和正收縮子群的直積：$\operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{ }\;$。

我們可以類似地定義CSO(n)，這時總有$\operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{ }(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{ }\;$。

複數體上正交群

複數體C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2維的李群，這意味着實維數是n(n-1)。O(n,C)有兩個連通分支，SO(n,C)是包含恆同矩陣的分支。當n ≥ 2時，這些群非緊。

和實情形一樣，SO(n,C)不是單連通的，對n > 2 SO(n,C)的基本群是2階循環群，而SO(2,C)的基本群是無窮循環群。

O(n,C)和SO(n,C)的複李代數由斜對稱複n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。

拓撲

低維數

低維實正交群是熟悉的空間：

${\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}$

由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多SO(3)上的卡。

同倫群

正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，從而一般是很難計算的。

但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群（也稱為有限正交群），定義為包含序列

$O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)$

的正向極限（因為包含都是閉包含，從而是上纖維化，也能理解成並）。

$S^{n}$是$O(n 1)$的齊性空間，從而有如下纖維叢：

$O(n)\to O(n 1)\to S^{n},$

可以理解為：正交群$O(n 1)$ 遞移地作用於單位球面$S^{n}$上，一點（看作一個單位向量）的穩定子群是其正交補餘的正交群，這是第一維的正交群。映射$O(n)\to O(n 1)$是自然包含。

從而包含$O(n)\to O(n 1)$是(n-1) -連通的，故同倫群穩定，對$n>k 1$有$\pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))$，所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。

通過博特週期性定理，$\Omega ^{8}O\simeq O$，從而O的同倫群以8為週期，即 $\pi _{k 8}O=\pi _{k}O$，這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。

${\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}$

和KO-理論的關係

通過cluching construction，穩定空間O的同倫群和穩定球面上的向量叢等價（同構的意義下），提高一個維數：$\pi _{k}O=\pi _{k 1}BO$。

設$KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z}$（使得$\pi _{0}$滿足週期性），我們得到：

${\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}$

同倫群的計算和解釋

低維群

最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。

• $\pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2$保持/反定向（這個類存留到$O(2)$從而穩定）

$SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)$得出：

• $\pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2$即自旋群
• $\pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0$，有到$\pi _{2}(SO(4))$的滿射，從而後一個群消失。

李群

由李群一般性事實，$\pi _{2}G$總消失，$\pi _{3}G$是自由阿貝爾群。

向量叢

從向量叢的觀點來看，$\pi _{0}(KO)$是$S^{0}$上的向量叢，具有兩個點。從而在每個點上，叢是平凡的，這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差，所以

$\pi _{0}(KO)=\mathbf {Z}$是維數。

環路空間

利用博特週期性中環路空間具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用$\pi _{0}$、O，以及O/U有兩個分支，$KO=BO\times \mathbf {Z}$和$KSp=BSp\times \mathbf {Z}$有$\mathbf {Z}$個分支，其實是連通的。

同倫群的解釋

一小部分結論：

• $\pi _{0}(KO)=\mathbf {Z}$是維數
• $\pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2$是定向
• $\pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2$是自旋
• $\pi _{4}(KO)=\mathbf {Z}$是拓撲量子場理論

令$F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O}$，以及$L_{F}$為射影線$\mathbf {FP} ^{1}$上的重複線叢，$[L_{F}]$是其K-理論。注意到$\mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}$，這些得出相應球面上的向量叢，以及：

• $\pi _{1}(KO)$由$[L_{\mathbf {R} }]$生成
• $\pi _{2}(KO)$由$[L_{\mathbf {C} }]$生成
• $\pi _{4}(KO)$由$[L_{\mathbf {H} }]$生成
• $\pi _{8}(KO)$由$[L_{\mathbf {O} }]$生成

有限群上的正交群

正交群也能定義在有限體$\mathbf {F} _{q}$上，這里$q$是一個質數$p$的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：$O^{ }(2n,q)$和$O^{-}(2n,q)$；奇數維有一類：$O(2n 1,q)$。

如果$V$是正交群$G$作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

$V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W$，

這里$L_{i}$是雙曲線而$W$不包含奇異向量。如果$W=0$，那麼$G$是正類型；若$W=<w>$那麼$G$有偶維數；若$W$有維數2，則$G$是負類型。

在n = 1的特例，$O^{\epsilon }(2,q)$是階為$2(q-\epsilon )$的二面體群。

當特徵大於2時，記O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A^t=I }。關於這些群的階數我們有以下公式

$|O(2n 1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$是$\mathbf {F} _{q}$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$不是$\mathbf {F} _{q}$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^{n} (-1)^{n 1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

迪克森不變量

對偶數維正交群，迪克森不變量是從正交群到Z/2Z的同態，是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變量和行列式等價：行列式等於−1的迪克森不變量次冪。

在特徵2的域上，行列式總為1，所以迪克森不變量給出了額外的資訊。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變量為0的元素，而不是行列式為1。

迪克森不變量也能對所有維數的克里福群和Pin群類似地定義。

特徵2域上正交群

特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

• 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標為2的4維向量空間(Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16)。注意特徵2域上的反射定義稍不同。特徵2域，垂直於一個向量u的反射將v映為v B(v,u)/Q(u)·u，這里B是一個雙線性形式，Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德轉換是將v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。

• 特徵2時正交群的中心總是1階，而不是2階。

• 在特徵2的奇維數2n 1時，完全域上的正交群和2n維辛群相同。事實上特徵2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2n維辛空間，正交群作用在它上面。

• 在特徵2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

旋量模

旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F^*/F^*2

的同態，將關於模長為n向量的反射映到F^*/F^*2中的n。

旋量模對實數體上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數體上不定二次型定義的正交群。

伽羅瓦餘調和正交群

代數群的伽羅瓦餘調理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯繫； 但就目前所發現的現象而言，大部分都是「馬後炮」。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式（張量）可以與伽羅瓦H¹等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式相聯繫。

一個旋量模的「spin」名字可以用與自旋群（更準確地pin群）的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦餘調（引入克里福代數的術語）來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列：

$1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1$

這裏μ₂是單位根的代數群；在一個特徵非2的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。

從H⁰（就是取值於F中點的群O_V(F)）到H¹(μ₂)的連接同態本質上是spinor模，因為 H¹(μ₂)同構於域模去平方元素的乘法群。

正交群的H¹到自旋群覆疊的核的H²也存在連接同態。因餘調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。

重要子群

物理中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：

$O(n)\supset O(n-1)$

$O(2n)\supset SU(n)$

$O(2n)\supset USp(n)$

$O(7)\supset G_{2}$

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

$SU(n)\supset O(n)$

$USp(2n)\supset O(n)$

$G_{2}\supset O(3)$

$F_{4}\supset O(9)$

$E_{6}\supset O(10)$

$E_{7}\supset O(12)$

$E_{8}\supset O(16)$

群O(10)在超弦理論中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。

另見

• 旋轉群, SO(3,R)
• SO(8)
• 廣義正交群
• 么正群
• 辛群
• 有限單純群列表
• 單純李氏群列表

參考文獻

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189 

外部連結

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• John Baez on Octonions （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）