参数方程

参数方程（英语：Parametric equation）和函数相似，都是由一些在指定的集合的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：

{\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}

并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

例

$x=a\cos(t),y=a\sin(t)$ ，表示了平面上半径为 $a$ 、以原点为圆心的圆。在三维，加入 $z=bt$ ，便是螺旋的图形。这些式子可以表示成：

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,

如果有一个粒子，沿这个螺旋的路径而行，直接微分上面的式子便会得到粒子的速度：

v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,

及加速度：

a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。

譬如一个圆柱：

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x＝f(t)，y＝g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

常见参数方程

{\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}

圆形参数方程在r=1的情形。

直线：
- 点斜式过 $(x_{0},y_{0})$ ，斜率为 $m$ 的直线: ${\begin{cases}x=x_{0} t\\y=y_{0} mt\end{cases}}$
- 点向式过 $(x_{0},y_{0})$ , 方向向量为 $(u,v)$ 的直线： ${\begin{cases}x=x_{0} ut\\y=y_{0} vt\end{cases}}$
圆： ${\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}$
椭圆： ${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}$
双曲线： ${\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}$
抛物线： ${\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}$
螺线： ${\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}$
摆线： ${\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}$

注：上文中的 $a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_{0},y_{0},u,v$ 为已知数，t都为参数， x, y为变量

参见