長度 (模論)

在數學中，設 $A$ 為環，一個 $A$-模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機

單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈：

$\{0\}\subsetneq M$

單模是容易處理的對象。對於一個環 $A$ 上的 $A$-模 $M$，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：

$M_{0}=\{0\}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M$

使得每個子商 $M_{k}/M_{k-1}$ 都是單模，那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義，這時 $M$ 將是有限長度的模，其長度 $\ell _{R}(M)$恰為 $n$。

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子：設 $E$ 是域 $k$ 上的有限維向量空間，那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 $(E_{k})_{0\leq k}$，使得維度在每一步都加一：

$E_{0}=\{0\}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1}\subsetneq E_{n}=E$

而此時 $\dim _{k}E=\ell _{k}(E)$，這種資料稱作旗。

定義

設 $A$ 為一個環（可能非交換）， 一個 $A$-模 $M$ 的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界：此即最大可能的整數 $n$（可能是無窮大），使得 $M$ 中存在嚴格遞增的子模鏈 $M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}$。模 $M$ 的長度記為 $\ell _{A}(M)$，不致混淆時也逕寫作 $\ell (M)$。

例子

• 模 $M$ 是單模的充要條件是長度為一。
• 對於向量空間，長度等於維度。
• 整數環 $\mathbb {Z}$ 視為 $\mathbb {Z}$-模，則其長度為無窮大，因為存在任意長的子模鏈 $2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}$。
• 設正整數 $n$ 的素因數分解為 $n=\prod _{p}p^{n_{p}}$，則有

$\ell _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\sum _{p}n_{p}$

性質

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如：若 $M$ 為有限長模，則其子模皆有限長，設 $N,P$ 為兩個子模，$\ell (N)=\ell (P)$ 且 $N\subseteq P$，則 $N=P$。

我們有 Grassman 公式：

$\ell (N P) \ell (N\cap P)=\ell (N) \ell (P)$

對於有限長模 $M$，一個極大的子模鏈 $\{0\}=M_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M$ 稱為一個合成列，其長度 $n$ 是固定的，且合成因子 $M_{i}/M_{i 1}$ 在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外，一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X