素理想
正式定义
编辑- 环R的理想P是素理想,当且仅当它是一个真理想(也就是说,P ≠ R),且对于R的任何两个理想A和B,若有AB ⊆ P,则A ⊆ P或B ⊆ P。
交换环的素理想
编辑素理想对交换环有一个较简单的描述:设R是一个交换环,如果它具有以下两个性质,那么R的理想P是素理想:
- 只要a,b是R的两个元素,使得它们的乘积ab位于P内,那么要么a位于P内,要么b位于P内。
- P不等于整个环R。
这推广了素数的以下性质:如果p是一个素数,且p能整除两个整数的乘积ab,那么p要么能整除a,要么能整除b。因此,我们可以说:
- 正整数n是素数,当且仅当理想nZ是Z的素理想。
例子
编辑- 如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y],那么由多项式Y2 − X3 − X − 1生成的理想是素理想(参见椭圆曲线)。
- 在整系数多项式环Z[X]中,由2和X生成的理想是素理想。它由所有常数项为偶数的多项式组成。
- 在任何环R中,极大理想是一个理想M,它是R的所有真理想的集合中的极大元,也就是说,M包含在R的正好两个理想内,即M本身和整个环R。每一个极大理想实际上是素理想;在主理想整环中,每一个非零的素理想都是极大的,但这一般不成立。
- 如果M是光滑流形,R是M上的光滑函数环,而x是M中的一个点,那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想(甚至是极大理想)。
性质
编辑- 交换环R中的理想I是素理想,当且仅当商环R/I是整环。
- 环R的理想I是素理想,当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。
- 每一个非零的交换环都含有至少一个素理想(实际上它含有至少一个极大理想),这是克鲁尔定理的一个直接结果。
- 一个交换环是整环,当且仅当{0}是一个素理想。
- 一个交换环是體,当且仅当{0}是唯一的素理想,或等价地,当且仅当{0}是一个极大理想。
- 一个素理想在环同态下的原像是素理想。
- 两个素理想的和不一定是素理想。例如,考虑环 ,它的素理想为P = (x2 y2 - 1)和Q = (x)(分别由x2 y2 - 1和x生成)。然而,它们的和P Q = (x2 y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是素理想。注意商环具有零因子意味着不是整环,因此P Q不能是素理想。
非交换环的素理想
编辑如果R是非交换环,那么R的理想P是素理想,如果它具有以下两个性质:
- 只要a,b是R的两个元素,使得对于R的所有元素r,它们的乘积arb都位于P内,那么要么a位于P内,要么b位于P内。
- P不等于整个环R。
对于交换环,这个定义等价于前面所述的定义。对于非交换环,这两个定义是不同的。使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。完全素理想是素理想,但反过来不成立。例如,n × n矩阵环中的零理想是素理想,但不是完全素理想。
例子
编辑参考文献
编辑- David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256页.