等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數 $f,g$ 的等化子，是方程 $f(x)=g(x)$ 的解集（英语：solution set）。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的核（英语：Kernel (category theory)）。

定義

設 $X$ 與 $Y$ 為集合。又設 $f,g$ 為從 $X$ 至 $Y$ 的函數。則 $f$ 與 $g$ 的等化子為 $X$ 中所有滿足 $f(x)=g(x)$ 的元素 $x$ 的集合，以符號表示為：

\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.

等化子可以表示成 $\mathrm {Eq} (f,g)$ 或類似的符號，如改成小楷 $\mathrm {eq}$ 。有時非正式地寫成 $\{f=g\}$ 。

上述定義用到兩個函數 $f,g$ ，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若 ${\mathcal {F}}$ 是一族函數，從 $X$ 映向 $Y$ ，則 ${\mathcal {F}}$ 的元素的等化子，是使 $f(x)$ 對所有 $f\in {\mathcal {F}}$ 皆相等的元素 $x\in X$ 的集合。以符號表示：

\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.

若 ${\mathcal {F}}$ 可以寫成 $\{f,g,h,\ldots \}$ ，則等化子亦記為 $\mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )$ 。此情況下，亦可非正式地寫成 $\{f=g=h=\cdots \}$ 。

作為一般定義的退化，考慮 ${\mathcal {F}}$ 為單元集 $\{f\}$ 。由於 $f(x)$ 必然等於自己，等化子等於整個定義域 $X$ 。更退化的情況下，設 ${\mathcal {F}}$ 為空集。則等化子仍為全個定義域 $X$ ，因為條件的全稱量化命題為空真命題（英语：vacuously true）。

差核

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（英語：difference kernel）。 $f,g$ 的差核可以記為 $\mathrm {DiffKer} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f-g)$ 。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數 $f$ 的核，可以作為差核 $\mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})$ 找到，其中 ${\boldsymbol {0}}$ 表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下， $0$ 的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

範疇論

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設 $X,Y$ 為物件，而 $f,g$ 為自 $X$ 往 $Y$ 的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而 $f,g$ 的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件 $E$ 與態射 $\mathrm {eq} :E\to X$ 的整體，滿足 $f\circ eq=g\circ eq$ ，且對任意物件 $O$ 與態射 $m:O\to X$ ，若有 $f\circ m=g\circ m$ ，則存在唯一的態射 $u:O\to E$ ，使得 $\mathrm {eq} \circ u=m$ 。

其中態射 $m:O\rightarrow X$ 滿足的條件，即 $f\circ m=g\circ m$ ，又稱為等化（英語：equalise） $f$ 與 $g$ 。^[1]

在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇 $\mathbf {Set}$ ，物件 $E$ 總可以按原始定義（即 $\{x:f(x)=g(x)\}$ ）選取，而相應的態射 $\mathrm {eq}$ 則是 $E$ 作為 $X$ 子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而 $\mathrm {eq}$ 可以取為任何由 $E$ 至 $X$ 的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件 $X$ 和 $Y$ ，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是 $X$ 和 $Y$ 的範疇論積，而非所求的等化子（應為 $X$ ）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域 $X$ 密切相關（例如在集合範疇的情況下， $X$ 出現在定義式中），但與 $Y$ 的關聯則僅在於 $Y$ 是圖中態射的陪域。所以，若無態射，則 $Y$ 不必出現，故圖僅有 $X$ 。此圖的極限，是任何 $E$ 與 $X$ 間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備（英语：complete category），則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇（英语：Category of abelian groups）上濃縮（英语：enriched category）的範疇，粗略而言，即每個態射集 $\mathrm {Hom} (A,B)$ 皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即 $\mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)$ ，其中 $\mathrm {Ker}$ 表示範疇論核（英语：kernel (category theory)）。