整数

整数（英語：integer）在電腦應用上也稱為整型，是序列$\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體$Z$或$\mathbb {Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数

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整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z 或$\mathbb {Z} ^{ }$）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z^-或$\mathbb {Z} ^{-}$）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z ₀或$\mathbb {Z} _{0}^{ }$），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或$\mathbb {Z} _{0}^{-}$）。在数论中自然数$\mathbb {N}$通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数$a,b,c$的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	$a b$是整数	$a\times b$是整数
结合律	$a (b c)=(a b) c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
交换律	$a b=b a$	$a\times b=b\times a$
存在单位元	$a 0=a$	$a\times 1=a$
存在逆元	$a (-a)=0$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数$a$关于乘法的逆元为${\frac {1}{a}}$，都不为整数。
分配律	$a\times (b c)=a\times b a\times c$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

$\mathbb {Z}$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是$\mathbb {Z}$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与$(\mathbb {Z} , )$同构。

有序性质

$\mathbb {Z}$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

$\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若$a<b$且$c<d$，则$a c<b d$（加法）
• 若$a<b$且$c>0$，则$a\times c<b\times c$；若$c<0$，则$a\times c>b\times c$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

電腦

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$\mathbb {Z}$的基數

$\mathbb {Z}$的基數（或勢）是ℵ₀，與$\mathbb {N}$相同。這可以從$\mathbb {Z}$建立一雙射函數到$\mathbb {N}$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x)={\begin{cases}2x 1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

當該函數的定義域僅限於$\mathbb {Z}$，則證明$\mathbb {Z}$與$\mathbb {N}$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數