哈密顿向量场

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。

哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。

定义

假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 $TM$ 与余切丛 $T^{*}M$ 的一个线性同构

$\omega :TM\to T^{*}M$

以及逆

$\Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}\ .$

从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 $H:M\to \mathbb {R}$ 确定了惟一的向量场 X_H = Ω(dH)，称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式

$\mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)\ ,$

一定成立。

注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。

例子

假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 $(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$，在这个坐标系下辛形式表示为

$\omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i}.$

则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式

$X_{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H\ ,$

这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\ .$

假设 M = R²ⁿ 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。

• 如果 $H=p_{i}$ 则 $X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;$
• 如果 $H=q^{i}$ 则 $X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;$
• 如果 $H=1/2\sum (p_{i})^{2}$ 则 $X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;$
• 如果 $H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}$ 则 $X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .$

性质

• 映射 $f\mapsto X_{f}$ 线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。

• 假设 $(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$ 是 M 上的典范坐标。则曲线 $\gamma (t)=(q(t),p(t))$ 是哈密顿向量场 X_H 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：

${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\ .$

• 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是 $H(\gamma (t))$ 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。

• 更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。

• 辛形式 $\omega$ 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数 ${\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =(\iota _{X_{f}}\circ d d\circ \iota _{X_{f}})\omega =d\circ df=0\ .$ 这里 $\iota$ 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。

泊松括号

哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义

$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=df(X_{g})={\mathcal {L}}_{X_{g}}f\ ,$

这里 ${\mathcal {L}}_{X}$ 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：

$X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],$

这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：

${\begin{aligned}&\iota _{[X_{f},X_{g}]}\omega \\=&({\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}-\iota _{X_{g}}\circ {\mathcal {L}}_{X_{f}})\omega \\=&{\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}\omega \\=&(\iota _{X_{f}}\circ d d\circ \iota _{X_{f}})dg\\=&d(\iota _{X_{f}})dg)\\=&-d\{f,g\}\\\end{aligned}}$

作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。

$\{\{f,g\},h\} \{\{g,h\},f\} \{\{h,f\},g\}=0\ ,$

这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 $f\mapsto X_{f}$ 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M 连通则为常数）。

参考文献

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 978-0-821-84438-0.  See section 3.2.
• Arnol'd, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin etc: Springer. 1997. ISBN 0-387-96890-3. 
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. 
• McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9.