احصائی آزادی

اصطلاح	term
آزاد واقعات آزاد تصادفی متغیر احصائی آزادی	independent events independent random variables statistical independence

بنیادِ احتمال
مسلماتِ احتمال فضاء احتمال فضاء نمونہ ابتدائی واقعہ واقعہ تصادفی متغیر پیمانہ احتمال Complementary event مشترکہ احتمال Marginal probability مشروط احتمال آزادی مشروط آزادی کل احتمال کا قانون کثیر اعداد کا قانون مسئلہ اثباتی بیز نامساواتِ بُول Venn diagram Tree diagram

اگر کسی واقعہ A کا احتمال، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات A اور B کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ A کے احتمال کے :

$\Pr(A|B)=\Pr(A)$

واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے

$\Pr(B|A)={\frac {\Pr(B\cap A)}{\Pr(A)}}={\frac {\Pr(A|B)\Pr(B)}{\Pr(A)}}$

ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:

$\Pr(B|A)=\Pr(B)$

مسلئہ اثباتی

واقعات A اور B آزاد ہوں گے، اگر بشرطِ اگر

$\ \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B)$

مثال 1

اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا

$\ S=\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}$

ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے اور دوسرا پھینک 4 ہے " کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے " اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے " کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:

${\begin{matrix}\Pr({\hbox{first throw is 3, second throw is 4}})=\\\Pr({\hbox{first throw is 3}})\times \Pr({\hbox{second throw is 4}})\\={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}\end{matrix}}$

مثال 2

اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے اور واقعہ A ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،

$A=\{1,3,5\},\,\Pr(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

اور واقعہ B یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،

$B=\{1,2,4,5\},\,\Pr(B)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$

اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" یہ ہو گا

$\Pr(A|B)={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}=\Pr(A)$

اس سے ثابت ہوا کہ واقعات A اور B آزاد ہیں۔

باہمی ناشمول واقعات

باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔

دو سے زیادہ واقعات کی آزادی

تعریف: واقعات $\ A_{1},A_{2},\cdots A_{n}$ کو باہمی آزاد کہا جائے گا، اگر کس بھی $\ m=2,3,\cdots ,n$ کے لیے اور $\ \{1,2,3,\cdots ,n\}$ کے کسی بھی ذیلی مجموعہ $\ i_{1},i_{2},i_{3},\cdots ,i_{m}$ کے لیے یہ سچ ہو کہ:

$\ \Pr \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \cdots \cap A_{i_{m}}\right)=\Pr(A_{i_{1}})\Pr(A_{i_{2}})\cdots \Pr(A_{i_{m}})$

دوسرے الفاظ میں $\ A_{1},A_{2},\cdots A_{n}$ کے کسی بھی ذیلی مجموعہ کے تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،

$\ \Pr(A_{i}\cap A_{j})=\Pr(A_{i})\Pr(A_{j})$

سے n واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔

آزاد تصادفی متغیر

تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ

$\Pr(X\leq x,Y\leq y)=\Pr(X\leq x)\Pr(Y\leq y)$

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں احتمال $\Pr(X\leq x,Y\leq y)$ سے مراد واقعات $\{X\leq x\}$ اور $\{Y\leq y\}$ دونوں کے وقوع پزیر ہونے کا احتمال ہے۔ غور کرو کے واقعات

$A=\{X\leq x\}\,\,,\,B=\{Y\leq y\}$

کی آزادی سے معلوم ہو گا کہ

$\Pr(X\in A,Y\in B)=\Pr(X\in A)\Pr(Y\in B)$

جو بعینہ اوپر دی تصادفی متغیر کی آزادی کی تعریف ہے۔

متفرد

متفرد تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد کہیں گے اگر

$\Pr(X=x,Y=y)=\Pr(X=x)\Pr(Y=y)$

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں واقعہ $\{X=x,Y=y\}$ سے مراد واقعات

$\ A=\{X=x\}$ اور $\ B=\{Y=y\}$

کا تقاطع ہے، یعنی

$\ \{X=x,Y=y\}=A\cap B$

تفاعل

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی دالہ سے بننے والے تصادفی متغیر $\ Z=f(X)$ اور $\ W=g(X)$ بھی آزاد ہوں گے۔

متوقع قدر

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی ضرب سے بننے والے تصادفی متغیر $Z=XY$ کی متوقع قدر X اور Y کی متوقع قدر کے حاصل ضرب ہوتی ہے

$\ E(Z)=E(XY)=E(X)\times E(Y)$

بشرطیکہ X اور Y کی متوقع قدر موجود ہو۔

تفاوت

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر $Z=X Y$ کی تفاوت (variance)، تصادفی متغیر X اور Y کی تفاوت کی جمع ہوتی ہے

$\ {\hbox{Var}}(Z)={\hbox{Var}}(X Y)={\hbox{Var}}(X) {\hbox{Var}}(Y)$

n تصادفی متغیر کی آزادی

n تصادفی متغیروں $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ کو باہمی آزاد کہا جائے گا اگر ان میں سے ہر دو تصادفی متغیر

$X_{i},X_{j}\,,\,i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}$

آزاد ہوں۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات