Формула Брамагупти

Фо́рмула Брамагу́пти (англ. Brahmagupta's formula) — математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.

Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін $a,b,c,d$ і півпериметр $p={\frac {a b c d}{2}}$, то його площа $S$ виражається формулою: $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Доведення  

Площа вписаного у коло чотирикутника $ABCD$ зі сторонами a, b, c, d дорівнює сумі площ $\triangle ACB$ та $\triangle BDC$

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A {\frac {1}{2}}cd\sin C.$

Так як $ABCD$ є вписаним чотирикутником, то $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ Отже, $\sin A=\sin C$:

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A {\frac {1}{2}}cd\sin A$

$S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab cd)^{2}$

$4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab cd)^{2}$

$4S^{2}=(ab cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab cd)^{2}.$

Записавши теорему косинусів для сторони $CB$ у $\triangle ACB$ і $\triangle BDC,$ отримуємо:

$a^{2} b^{2}-2ab\cos A=c^{2} d^{2}-2cd\cos C.$

Скористаємось залежністю $\cos C=-\cos A$ ($A$ і $C$ протилежні кути), після чого винесемо за дужки $2\cos A$:

$2\cos A(ab cd)=a^{2} b^{2}-c^{2}-d^{2}.$

Підставимо отримане у записану вище формулу площі:

$4S^{2}=(ab cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2} b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$16S^{2}=4(ab cd)^{2}-(a^{2} b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},$

Застосуємо формулу $x^{2}-y^{2}=(x y)(x-y)$:

$(2(ab cd) a^{2} b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab cd)-a^{2}-b^{2} c^{2} d^{2})$

$=((a b)^{2}-(c-d)^{2})((c d)^{2}-(a-b)^{2})$

$=(a b c-d)(a b d-c)(a c d-b)(b c d-a).$

Так як півпериметр $p={\frac {a b c d}{2}},$

$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).$

Добуваючи квадратний корінь, отримуємо:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Варіації й узагальнення

• Формула Брамагупти узагальнює формулу Герона для визначення площі трикутника на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, $d=0$) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона.
• На випадок довільних чотирикутників формула Брамагупти може бути узагальнена так:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

де $\theta$ — півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює $\theta$, то півсума двох інших кутів буде $180^{\circ }-\theta$, і $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .$.

Інколи цю загальнішу формулу записують так:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac bd uv)(ac bd-uv)}}$,

де $u$ и $v$ — довжини діагоналей чотирикутника.

• Математик Девід П. Роббінс (англ. David P. Robbins) довів, що для довільного вписаного многокутника з $n$ сторонами величина $(4S)^{2}$ є коренем деякого многочлена $P$, коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для $n=5$ та $n=6$. Іншими авторами встановлено, що многочлен $P$ можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь $N=N(n)$ дорівнював $\Delta _{k}$, при $n=2k 1$ і $2\Delta _{k}$, якщо $n=2k 2$. Тут

$\Delta _{k}={\frac {2k 1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k 1}{j}},$

де ${\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}$ — біноміальні коефіцієнти. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо $\Delta _{1}=1$, $\Delta _{2}=7$, $\Delta _{3}=38$, $\Delta _{4}=187,\dots$ (послідовність A000531 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) і $N(4)=2$, $N(5)=7$, $N(6)=14$, $N(7)=38,\dots$ (послідовність A107373 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

• Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:

$-16S^{2}=a^{4} b^{4} c^{4} d^{4}-2(a^{2}b^{2} b^{2}c^{2} a^{2}c^{2} a^{2}d^{2} b^{2}d^{2} c^{2}d^{2})-8abcd$

• Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, що

$16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}$

Див. також

• Брамагупта
• Теорема Брамагупти

Джерела

• Прасолов В. В. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Г. М. Коксетер, С. Грейтцер. Новые встречи с геометрией / Под ред. А. П. Савина. — М. : Наука, 1978. — С. 73—74. — (Библиотека математического кружка. Вып. 14)
• Варфоломеев В. В. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Математический сборник. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• M. Fedorchuk, I. Pak (2005). Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes (PDF). Duke Mathematical Journal. 129 (2): 371—404. doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X. Архів оригіналу (PDF) за 3 жовтня 2013. Процитовано 3 серпня 2016.