Спліт-кватерніон

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	-k	1	-i
k	j	i	1

Спліт-кватерніо́ни  — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду $\ a bi cj dk$ (вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де

$\ a,b,c,d$ — дійсні числа,

$\ i,j,k$ — уявні одиниці,

для яких виконується:

$\ i^{2}=-1,\quad j^{2}= 1,\quad ij=k$ — все як для тессарінів,

тільки замість комутативності (що приводить до $k^{2}=-1$), вимагається

$k^{2}= 1$.

З цього отримуємо антикомутативність:

${\begin{matrix}ij&=&-ji&=&k,\\jk&=&-kj&=&-i,\\ki&=&-ik&=&j.\end{matrix}}$

Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони.

• Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді $\ (a bi) (c di)j=A Bj,$ де

$\ A,B$— комплексні числа.

• Кільце спліт-кватерніонів, на відміну від кватерніонів, містить дільники нуля, нільпотентні елементи й нетривіальні ідемпотентні елементи.

Пов'язані означення

Для спліт-кватерніона $\,q=a bi cj dk$,

• спліт-кватерніон ${\bar {q}}=a-bi-cj-dk$ називається спряженим до $\,q$.

• Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як: $|q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2} b^{2}-c^{2}-d^{2}}}.$

Діагональний базис

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $\ j^{2}= 1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1 j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},$

які можна використати як альтернативний базис:

$\ A Bj=(A-B)e_{1} (A B)e_{2}={\Big (}a-c (b-d)i{\Big )}e_{1}\; \;{\Big (}a c (b d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1} {\tilde {B}}e_{2}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\tilde {A}}$ чи ${\tilde {B}}$ рівні нулю.

Матричне представлення

Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

${\begin{pmatrix}a bi&c di\\c-di&a-bi\end{pmatrix}}$

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)