Рівняння Пуассона

Рівняння Пуассона — неоднорідне еліптичне рівняння в частинних похідних другого порядку, загального виду

$\Delta \varphi =f$,

де $\Delta$ — оператор Лапласа, $\varphi$ — невідома функція, $f$ — довільна функція, що не залежить від невідомої.

Зокрема, в електростатиці рівняння, яке описує потенціал електричного поля $\varphi$ в системі зарядів, заданих густиною $\rho$

$\Delta \varphi =-4\pi \rho$.

Як і для будь-якого іншого неоднорідного лінійного диференціального рівняння розв'язок рівняння є сумою загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку неоднорідного рівняння.

Частковий розв'язок неодрорідного рівняння можна записати через функцію Гріна.

$\varphi (\mathbf {r} )=4\pi \int {\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}dV^{\prime }$.

Повний розв'язок задається сумою часткового розв'язку та довільного розв'язку однорідного рівняння Лапласа.

Література

• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;