Однорідні диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Диференціальне рівняння називається однорідним у одному з двох аспектів.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо його можна записати у вигляді

$f(x,y)\mathrm {d} y=g(x,y)\mathrm {d} x,$

де $f$ та $g$  — однорідні функції від $x$ і $y$ однакового степеня. У цьому випадку підстановка $y=ux$ приводить до рівняння вигляду

${\frac {\mathrm {d} x}{x}}=h(u)\mathrm {d} u,$

що легко розв'язується інтегруванням лівої та правої частин.

Інакше, диференціальне рівняння називається однорідним, якщо воно є однорідною функцією від невідомої функції та її похідних. У випадку лінійних диференціальних рівнянь це означає відсутність вільного члена. Таким чином, рівняння

$a_{n}(x)y^{(n)} \cdots a_{2}(x)y'' a_{1}(x)y' a_{0}(x)y=b(x)$

є однорідним, якщо $b(x)\equiv 0$. У випадку $b(x)\neq 0$ таке рівняння називають неоднорідним.

Розв'язки будь-якого лінійного звичайного диференціального рівняння будь-якого порядку можна вивести інтегруванням з розв'язку відповідного однорідного рівняння, отриманого вилученням вільного члена.

Історія

Поняття однорідності було вперше застосовано до диференціальних рівнянь Йоганном Бернуллі у дев'ятому розділі його статті 1726 року De integraionibus aequationum differentialium (Про інтегрування диференціальних рівнянь).

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку вигляду

$M(x,y)\mathrm {d} x N(x,y)\mathrm {d} y=0$

є однорідним, якщо обидві функції $M(x,y),~N(x,y)$ є однорідними однакового степеня $n$. Таким чином, помноживши кожну змінну на параметр $\lambda$, маємо

$M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)$ і

$N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y).$

Отже,

${\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}.$

Спосіб розв'язання

У співвідношенні

${\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}$

покладемо $t={\frac {1}{x}}$, щоб перейти до функції однієї змінної ${\frac {y}{x}}$:

${\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x).$

Тобто

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-f(y/x).$

Робимо підстановку $y=ux$; диференціюємо застосовуючи правило добутку:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ux)}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}} u{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}} u.$

Таким чином, у рівнянні відокремлено змінні:

$x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=-f(u)-u$

або

${\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\frac {-1}{f(u) u}},$

яке вже можна проінтегрувати.

Особливий випадок

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

$\left(ax by c\right)\mathrm {d} x \left(ex fy g\right)\mathrm {d} y=0,$

де $a$, $b$, $c$, $e$, $f$, $g$  — константи та $af\neq be$, може бути зведено до однорідного за допомогою лінійної заміни змінних:

$t=x \alpha ;\quad z=y \beta ,$

де $\alpha$ та $\beta$  — константи.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Лінійне диференціальне рівняння є однорідним, якщо воно є однорідним лінійним рівнянням від невідомої функції та її похідних. З цього випливає, що якщо $\varphi (x)$ є розв'язком такого рівняння, то і $c\varphi (x)$ також є його розв'язком для будь-якої відмінної від нуля константи $c$. Щоб ця умова виконувалася, кожен ненульовий член лінійного диференціального рівняння повинен залежати від невідомої функції або від будь-якої її похідної. Лінійне диференціальне рівняння, для якого ця умова не виконується, називається неоднорідним.

Лінійне диференціальне рівняння може бути представлене як лінійний оператор, що діє на $y(x),$ де $x$ зазвичай є незалежною змінною, а $y$  — залежною змінною. Таким чином, загальна форма лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

$L(y)=0,$

де $L$  — диференціальний оператор, тобто сума похідних (у цьому випадку визначаємо «нульову похідну» як початкову функцію), помножених на функції $f_{i}$, що залежать від $x$:

$L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {\mathrm {d} ^{i}}{\mathrm {d} x^{i}}},$

де функції $f_{i}$ можуть бути константами, але не можуть усі одночасно дорівнювати нулю.

Наприклад, таке лінійне диференціальне рівняння є однорідним:

$\operatorname {tg} (2x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}} 2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}} 3y=0,$

тоді як наступні два рівняння є неоднорідними:

$\operatorname {tg} (2x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}} 2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}} 3y=\cos(x);$

$x^{3}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-3x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}} xy=2.$

Присутність вільного члена є достатньою умовою того, що рівняння є неоднорідним.

Див. також

• Розділення змінних
• Звичайні диференціальні рівняння
• Лінійне диференціальне рівняння
• Інтеграл

Література

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (вид. 10th), Wiley, ISBN 978-0470458310.
• Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490.
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 листопада 2017). Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 листопада 2009). Differential Equations with Linear Algebra. Oxford University Press. с. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

Посилання

• Homogeneous differential equations at MathWorld
• Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1