Неперервна справа функція з лівосторонніми границями
В математиці, càdlàg (фр. continu à droite, limite à gauche, або англійською RCLL або англ. “right continuous with left limits”) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.
Нехай (M, d) — метричний простір, і E ⊆ R. Функція ƒ: E → M називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх t ∈ E,
- лівостороння границя ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s) існує; і
- правостороння границя ƒ(t ) := lims↓t ƒ(s) існує і дорівнює ƒ(t).
Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями[1].
- Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
- Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням.
- Права похідна будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцією[джерело?].
Множина усіх càdlàg функцій ƒ: E → M часто позначається як D(E; M) (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо E = [0, T] та M = Rn — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.
З початку треба визначити аналог модуля неперервності, ϖ′ƒ(δ). Для будь-якого F ⊆ E визначимо
і для δ > 0 визначимо càdlàg modulus як
де infimum береться по всім розподілам Π = {0 = t0 < t1 < … < tk = T}, k ∈ N з mini (ti − ti−1) > δ. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді ϖ′ƒ(δ) → 0 коли δ → 0.
Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай
позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так
де I: E → E є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" ||λ − I|| вимірює розмір "збурення в часі", а ||ƒ − g○λ|| вимірює розмір "збурення в просторі".
Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.
Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.
Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ0 з якою D є повним.[2]
Якщо σ або σ0, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.
Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μn)n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:
та
При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:
Нехай одиничний интервал, а послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що в топології Скорохода, послідовність не збігається до 0.
- ↑ Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х.
{{cite book}}
: Перевірте значення|isbn=
: недійсний символ (довідка) - ↑ Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125
- Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |