Лема Пуанкаре

Лема Пуанкаре — одне з найважливіших тверджень теорії диференціальних форм, що має важливі застосування в математичному аналізі, диференціальній геометрії, теорії груп Лі, а також інших розділах математики і фізики. Лема названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре.

Твердження

Нехай $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ — відкрита стягувана множина, $\mathrm {d}$ позначатиме зовнішнє диференціювання на множині диференціальних форм визначених на $U.$ Тоді когомологічні групи де Рама рівні:

$H_{dR}^{k}(U)={\begin{cases}0,&k>0\\\mathbb {R} ,&k=0.\end{cases}}$

Тобто для $k>0$ кожна замкнута диференціальна k-форма є точною.

Важливим наслідком леми є факт, що на довільному гладкому многовиді довільна замкнута диференціальна форма є локально точною.

Доведення

Доведення буде подано для часткового випадку зірчатих щодо початку координат областей (цього достатньо, зокрема, для доведення локальної точності замкнутих диференціальних форм).

Для доведення очевидно достатньо побудувати такі лінійні оператори $h_{k}:\Omega ^{k 1}(U)\rightarrow \Omega ^{k}(U),\;\;k\geqslant 0,$ для яких виконуються рівності $(\mathrm {d} \circ h_{k-1} h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0.$

Оскільки дані оператори будуть лінійними достатньо визначити їх на диференціальних формах виду $\omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.$

Для такої диференціальної k-форми означимо

$h_{k-1}(\omega )(x)=\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)$

де $\mu =x_{i_{1}}\;\mathrm {d} x_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-x_{i_{2}}\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{3}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}} \cdots (-1)^{k}x_{i_{k}}\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k-1}}.$

Неважко переконатися, що $\mathrm {d} \mu =(k 1)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k 1}}.$

Тепер для $\omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\in \Omega ^{k}(U),\;\;x\in U$ обчислюємо

${\begin{aligned}\mathrm {d} \circ h_{k-1}(\omega )(x)=&\mathrm {d} \left[\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}{\partial \over \partial x_{j}}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.\\\end{aligned}}$

З іншої сторони маємо

${\begin{aligned}h_{k}\circ \mathrm {d} (\omega )(x)&=h_{k}\left[\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}\,\mathrm {d} x_{i_{j}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\left[x_{j}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \right].\\\end{aligned}}$

З цих двох виразів отримуємо зрештою

${\begin{aligned}(\mathrm {d} \circ h_{k} h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )(x)=&\left[k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right) \sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)x_{j}dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left(kt^{k-1}g(tx) t^{k}{d \over dt}(g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left({d \over dt}(t^{k}g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&g(x)\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\omega (x),\;\;\forall x\in U.\\\end{aligned}}$

Продовжуючи лінійно визначені оператори маємо $(\mathrm {d} \circ h_{k} h_{k 1}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0,$ що завершує доведення.

Література

• do Carmo M. Differential Forms and Applications. — Springer Verlag, 1994. — ISBN 978-3540576181.
• Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — ISBN 0-387-90202-3.