Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.

Червона крива є епіциклоїдою, що утворена точкою кола (радіус $r = 1$ ), що котиться по нерухомому колу (радіус $R = 3$ ).

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.^[1] ^{:стор.806}

Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка $P$ , що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$ , що і точка опори.^[1] ^{:стор.805} Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною епіциклоїди називається така її точка $V$ , що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$ .^[1] ^{:стор.806}

Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).

Граничні випадки епіциклоїди:

Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності ( $R\to \infty$ ), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.^[1] ^{:стор.814}
Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности ( $r\to \infty$ ), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$ , а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$ , то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $\varphi$ :

{\begin{cases}x(\varphi )=(R r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}

При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$ .

Кут $\varphi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$ .

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:

{\begin{cases}x(\varphi )=(R r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi  {\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi  {\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}

При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $\beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $Ox$ дорівнює ${\frac {r}{R}}\cdot \alpha$ .

Можна ввести величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:

{\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot \left((k 1)\cos \varphi -\cos \left((k 1)\varphi \right)\right)\\&y(\varphi )=r\cdot \left((k 1)\sin \varphi -\sin \left((k 1)\varphi \right)\right).\end{cases}}

Величина $k$ визначає форму епіциклоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: ^[2]

z(\varphi )=r\cdot \left((k 1)e^{i\varphi }-e^{i(k 1)\varphi }\right)

де

кут $\varphi \in [0,2\pi ]$ ;
радіус твірного (рухомого) кола $r$ ;
радіус напрямного (нерухомого) кола $R=kr$ .

Рівняння Чезаро^[en] для епіциклоїди має вигляд:^[1] ^{:стор.819}

{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}} {\frac {(\ell -b)^{2}}{b^{2}}}=1

де
$a={\frac {4r\cdot (R r)}{R 2r}}$ , $b={\frac {4r\cdot (R r)}{R}}$
$\rho$ — радіус кривини епіциклоїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди:
Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій $AB$ , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$ , через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: ${\frac {4r\cdot (R r)}{R}}$ . Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: ${\frac {4r\cdot (R r)}{R 2r}}$ .^[1] ^{:стор.819}

Властивості та особливості форми

Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $R$ та $R 2r$ .

На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди.

При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2\pi \cdot {\frac {r}{R}}$ , епіциклоїда суміщається сама з собою.^[1] ^{:стор.812}
Якщо $k$ — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2(k 1)$ порядку;

Крива складається з $k$ конгруентних арок, а отже, має $k$ вершин та каспів (тобто точок зворотів).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить $(k 1)$ повних обертів навколо свого центру.

Якщо $k={\frac {p}{q}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2\cdot |p q|$ порядку;

Крива складається з $p$ конгруентних арок, а отже, має $p$ вершин та каспів.
Крива має $p\cdot (q-1)$ точок самоперетину.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить $(p q)$ повних обертів навколо свого центру.

Якщо $k$ — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $r$ тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $R r$ .^[1] ^{:стор.816}
Властивість нормалі та дотичної

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до епіциклоїди в деякій її точці $M$ , проходить через точку $E'$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки $E$ .^[1] ^{:стор.817}

Метричні характеристики

Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$ : ^[1] ^{:стор.818}

\ell ={\frac {8r\cdot (R r)}{R}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {R}{4r}}\cdot \varphi _{1}\right).

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:

\ell =8r\cdot \left(1 {\frac {r}{R}}\right)

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то довжина $\ell$ всієї епіциклоїди:

\ell =8(k 1)\cdot r

Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$ : ^[1] ^{:стор.820}

S={\frac {(R r)(R 2r)}{2}}\cdot \left(\varphi _{1}-{\frac {r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).

Площа сектора, що описується полярним радіусом $OM$ епіциклоїди, коли точка $M$ пробігає одну її арку: ^[1] ^{:стор.820}

S_{1}={\frac {\pi \cdot r(R r)(R 2r)}{R}}

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: $S_{2}=\pi \cdot r\cdot R$ .

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

S=|S_{1}-S_{2}|=\pi r^{2}\cdot |3 2{\frac {r}{R}}|

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то площа $S$ фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:

S=(k 1)(k 2)\cdot \pi r^{2}=\pi \cdot (R r)(R 2r)

Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в ${\frac {(k 1)(k 2)}{k^{2}}}$ разів більша за площею, від площі напрямного круга.

Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці $M$ , що відповідає полярному куту $\varphi$ :

\rho ={\frac {4r\cdot (R r)}{R 2r}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right),

Цю формулу можна записати у вигляді:^[1] ^{:стор.817}

\rho =2\cdot ME\cdot {\frac {R r}{R 2r}},

де $ME$ — відрізок, що сполучає точку $M$ епіциклоїди і точку опори $E$ твірного кола.

В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho ={\frac {4r\cdot (R r)}{R 2r}}.$

Епіциклоїда та її еволюта подібні.^[3]

Відношення подібності складає^[1] ^{:стор.818} $R:(R 2r).$ Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут $\pi \cdot {\frac {r}{R}}$ , а потім відповідно маштабувавши її.