Гіпоциклоїда

Червона крива — гіпоциклоїда: $r=1,0$, $R=3,0$. Для цієї гіпоциклоїди $k=R/r=3$.

Гіпоцикло́їда (від грец. ὑπό — під, внизу і грец. κύκλος — круг, коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним. ^{:стор.806}

Якщо радіус $r$ рухомого кола більший за радіус $R$ нерухомого кола, то в цьому випадку гіпоциклоїду називають перициклоїдою. Будь-яка перициклоїда з параметрами $(R,r)$ еквівалентна епіциклоїді з параметрами $(R,r-R)$. ^{:стор.811; 816}

Початковою точкою гіпоциклоїди називають таку її точку $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори. ^{:стор.805}

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) гіпоциклоїди. Початкові точки гіпоциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною гіпоциклоїди називають таку її точку $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$. ^{:стор.806}

Будь-яка гіпоциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Гіпоциклоїда є окремим випадком гіпотрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремими випадками гіпоциклоїди є дельтоїда (гіпоциклоїда з трьома каспами) та астроїда (гіпоциклоїда з чотирма каспами).

Граничні випадки гіпоциклоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченности ($R\to \infty$), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола. ^{:стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности ($r\to \infty$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$, то гіпоциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $\varphi$:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi r\cos({\frac {R-r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R-r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому початкова точка гіпоциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Кут $\varphi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпоциклоїди має вигляд:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi r\cos({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi {\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi {\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому гіпоциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $\beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпоциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $Ox$ дорівнює ${\frac {r}{R}}\cdot \alpha$.

Ввівши величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпоциклоїди у вигляді:

${\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot \left((k-1)\cos \varphi \cos \left((k-1)\varphi \right)\right)\\&y(\varphi )=r\cdot \left((k-1)\sin \varphi -\sin \left((k-1)\varphi \right)\right).\end{cases}}$

де $R$ — радіус нерухомого кола, $r$ — радіус кола, що котиться. Величина $k$ визначає форму гіпоциклоїди (див. нижче). При $k=2$ гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при $k=4$ є Астроїдою.

Доведення  

Нехай у початковий момент кола дотикаються в точці А, що лежить на осі OX, де т.О - центр великого кола. Координати т.А при цьому - (kr, 0), де R / r = k. Розглянемо, як змінюються координати т.А, прив'язаної до кола, що котиться (т.А переходить у т.A'). Нехай маленьке коло прокотилося так, що його центр перейшов з т.C в т.C' і повернувся щодо т.O на кут t. По-перше, можна показати, що поворот маленького кола щодо свого центру при цьому (тобто кут між CA і C'A') дорівнює t - kt = - (k-1) t. По-друге, координати т.C' будуть такими: ((k-1) r cos (t), (k-1) r sin (t)). Тоді, знаючи, куди перейде центр кола, що котиться, і на який кут воно повернулося щодо цього центру, можна записати координати т.А':

X = (k-1) r cos (t) r cos ((k-1) t)

Y = (k-1) t sin (t) - r sin ((k-1) t)

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$z(\varphi )=r\cdot \left((k-1)e^{i\varphi } e^{-i(k-1)\varphi }\right)$ .

де

• кут $\varphi \in [0,2\pi ]$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола $r$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола $R=kr$.

Рівняння Чезаро для гіпоциклоїди має вигляд: ^{:стор.819}

${\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}} {\frac {(\ell -b)^{2}}{b^{2}}}=1$

де
$a={\frac {4r\cdot (R-r)}{R-2r}}$ , $b={\frac {4r\cdot (R-r)}{R}}$
$\rho$ — радіус кривини гіпоциклоїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги гіпоциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість гіпоциклоїди:

Якщо дуга гіпоциклоїди котиться без ковзання по прямій $AB$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$, через яку прокочується вершина гіпоциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки гіпоциклоїди, а саме: $\left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R}}\right|$.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: $\left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R-2r}}\right|$. ^{:стор.819}

Властивості та особливості форми

• Будь-яка гіпоциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $|R-2r|$ та $R$.
  

На першому з них лежать вершини, а на другому — каспи гіпоциклоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2\pi \cdot {\frac {r}{R}}$, гіпоциклоїда суміщається сама з собою. ^{:стор.812}
• Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2(k-1)$ порядку;
  

Крива складається з $k$ конгруентних арок, а отже, має $k$ вершин та каспів (тобто точок звороту).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (k - 1) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k={\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2\cdot |p-q|$ порядку;
  

Крива складається з $p$ конгруентних арок, а отже, має $p$ вершин та каспів.
Крива має $p\cdot (q-1)$ точок самоперетину, якщо $q<{\frac {p}{2}}$ та p i q — взаємопрості числа.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить p - q повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k$ — ірраціональне число, то гіпоциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
• Гіпоциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Будь-яка гіпоциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $r$ за формою тотожна з гіпоциклоїдою з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $R-r$. ^{:стор.815}
  

Відмінність полягає у розмірі твірного кола, а отже і верхньому значенні параметра $\varphi$, при якому крива замикається.

• Властивість нормалі та дотичної
  

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ гіпоциклоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до гіпоциклоїди в деякій її точці $M$, проходить через точку $E'$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки $E$. ^{:стор.817}

Метричні характеристики

• Довжина дуги гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.818}

$\ell ={\frac {8r\cdot (R-0r)}{R}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {R}{4r}}\cdot \varphi _{1}\right).$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки гіпоциклоїди дорівнює:

$\ell =8r\cdot \left(1-{\frac {r}{R}}\right)$

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то довжина $\ell$ однієї арки:

$\ell =8r\cdot \left({\frac {k-1}{k}}\right)$

а довжина всієї гіпоциклоїди:

$\ell =8(k-1)\cdot r=8{\frac {k-1}{k}}\cdot R$

• Площа сектора гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.820}

$S={\frac {(R-r)(R-2r)}{2}}\cdot \left(\varphi _{1}-{\frac {r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).$

Площа сектора, що описується полярним радіусом $OM$ гіпоциклоїди, коли точка $M$ пробігає одну її арку: ^{:стор.820}

$S_{1}={\frac {\pi \cdot r(R-r)(R-2r)}{R}}$

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: $S_{2}=\pi \cdot r\cdot R$.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою гіпоциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

$S=|S_{1}-S_{2}|=\pi r^{2}\cdot |3-2{\frac {r}{R}}|$

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то площа $S$ сектора, що відповідає одній арці гіпоциклоїди, дорівнює

$S={\frac {(k-1)(k-2)}{k}}\cdot \pi r^{2}$

а фігури, що обмежена повною гіпоциклоїдою:

$S=(k-1)(k-2)\cdot \pi r^{2}={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\cdot \pi R^{2}$

Це означає, що фігура, обмежена гіпоциклоїдою в $\left(1-{\frac {r}{R}}\right)\left(1-2{\frac {r}{R}}\right)$ разів менша за площею, від площі напрямного круга.

• Радіус кривини будь-якої гіпоциклоїди в деякій її точці $M$, що відповідає куту $\varphi$:

$\rho ={\frac {4r\cdot |R-r|}{|R-2r|}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right).$

Цю формулу можна записати у вигляді: ^{:стор.817}

$\rho =2\cdot ME\cdot \left|{\frac {R-r}{R-2r}}\right|$

де $ME$ — відрізок, що сполучає точку $M$ гіпоциклоїди і точку опори $E$ твірного кола.

В точках звороту гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho ={\frac {4r\cdot |R-r|}{|R-2r|}}.$

• Гіпоциклоїда та її еволюта подібні.

Відношення подібності складає ^{:стор.818} $R:(R-2r).$ Еволюта має той же центр, що і початкова гіпоциклоїда. Каспи еволюти збігаються з вершинами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану гіпоциклоїду на кут $\pi \cdot {\frac {r}{R}}$, а потім відповідно маштабувавши її.

Приклади гіпоциклоїд

• 
  k=3 — Дельтоїда
• 
  k=4 — Астроїда
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2,1
• 
  k=3,8
• 
  k=5,5
• 
  k=7,2

Див. також

• Рулета
• Циклоїда
• Епіциклоїда
• Гіпотрохоїда
• Список періодичних функцій

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.
• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Hypocycloid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Hypocycloid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Hypocycloid в архіві MacTutor (англ.)
• Гіпоциклоїда на Javascript
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids