Правильний тетраедр

Пра́вильний тетра́едр — чотиригранник, усі грані якого — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Тетраедр, натисніть тут для обертання моделі

Тривимірна модель правильного тетраедра

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

• (1, 1, 1)
• (-1, −1, 1)
• (-1, 1, −1)
• (1, −1, −1)

Довжина ребра в цьому випадку становитиме $2{\sqrt {2}}$.

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

• площа поверхні

${\sqrt {3}}a^{2}\,\!$

• об'єм

${\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$

• висота

${\sqrt {\frac {2}{3}}}a\,\!$

• радіус вписаної сфери

${\frac {\sqrt {6}}{12}}a$

• радіус описаної сфери

${\frac {\sqrt {6}}{4}}a$

• Радіус напіввписаної сфери

${\frac {\sqrt {2}}{4}}a$

• кут нахилу ребра

$\arctan {\sqrt {2}}\approx {\frac {7}{23}}\pi$

• кут нахилу грані

$\arctan 2{\sqrt {2}}\approx {\frac {29}{74}}\pi$

• група симетрій — тетраедрична (T_h)

Властивості правильного тетраедра

• У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
• Правильний тетраедр із ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (у вершинах) із ребром х/2.
• Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, причому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому, чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.

У фізичному світі

• Крижані кристали H₂O
• Молекула метану CH₄
• Алмаз, C, — тетраедр із ребром рівним 2,5220 Å
• Флюорит CaF₂, тетраедр із ребром рівним 3,8626 Å
• Сфалерит, ZnS, тетраедр із ребром рівним 3,823 Å

Див. також

• http://geom11klas.blogspot.com/2014/07/blog-post_8356.html

Література

• Harold Scott MacDonald Coxeter. Table I(i) // Regular Polytopes. — Methuen and Co, 1948.