Порядок (теорія груп)

У теорії груп, термін порядок використовується у двох тісно пов'язаних значеннях:

• порядок групи — кардинальність множини елементів групи;
• порядок елемента a — найменше додатне число $r$, таке, що $a^{r}=e\,$ (де e — нейтральний елемент групи). Якщо це число не існує, кажуть, що порядок є нескінченним.

Порядок групи G позначається $\operatorname {Ord} (G)$ (а також $|G|$, $\#G$, $R(G)$), порядок елемента a — $\operatorname {Ord} (a)$.

Приклад

Симетрична група $S_{3}$, містить всі перестановки множини з трьох елементів. Її таблиця Келі має такий вигляд:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Ця група складається з шести елементів, тож Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{Ord}(S_3) = 6} . За визначенням, порядок одиничного елемента e дорівнює 1. Елементи s, t і w в квадраті рівні e, отже їх порядок дорівнює 2. Порядок елементів u і v рівний 3.

Властивості

• Два визначення пов'язані таким чином: якщо ми визначимо

$\langle a\rangle =\{a^{k}:k\in \mathbb {Z} \}$

підгрупу, породжену елементом a, то

$\operatorname {Ord} (a)=\operatorname {Ord} (\langle a\rangle ).$

Тож можна дати еквівалентне визначення порядку елемента, як порядку найменшої групи, що містить даний елемент.

• Група порядку 1 називається тривіальною групою. Якщо елемент групи має порядок 1, він є одиничним. Якщо кожен елемент групи G окрім одиничного має порядок 2, то G є абелевою групою: ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba. Зворотне твердження невірне, бо, наприклад, циклічна група $Z_{6}$ є комутативною групою, але елемент 2 має порядок 3 (2 2 2 = 6 ≡ 0 (mod 6)).

• Для будь-якого a , a^k = e, якщо і тільки якщо $Ord(a)|k$, тобто порядок елементу ділить k.

• Порядок будь-якої підгрупи групи G ділить порядок G, так що порядок будь-якого елементу в групі є дільником порядку групи.

• У конкретному випадку існує зворотна теорема: якщо G скінченна група, число d є простим і ділить порядок групи G , то у групі G існує елемент порядку d.
• Якщо порядок елемента a є нескінченним, то порядок кожного степеня a, є також нескінченним. Якщо порядок a скінченний, то виконується рівність:

Ord(a^k)=Ord(a)/НСД(Ord(a), k)

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)