Множина Віталі

Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.

Історія

1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.

Побудова

Введемо відношення еквівалентності $\sim$ на відрізку $[0,\;1]$ :

x\sim y\quad \iff \quad (x-y)\in \mathbb {Q}

(дійсні числа еквівалентні, якщо їх різниця є раціональним числом).

Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина $E$ буде невимірною.

Справді, якщо зсунути множину $E$ зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка $[-1,\;1]$ , то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок $[0,\;1]$ і саме буде включене у відрізок $[-1,\;2]$ .

Припустимо, що множина $E$ має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки:

Міра $E$ дорівнює нулю. Тоді міра відрізка $[0,\;1]$ (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю, що суперечить визначенню міри.
Міра $E$ більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка $[-1,\;2]$ буде нескінченною, що знову суперечить визначенню.

В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.

Доведення.

Справді, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: $E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=[0,\;1]$ .

Отже, внаслідок зліченної адитивності міри Лебега $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})$ .

Якби у побудованої множини $\ E$ була міра, то вона мала б бути не менше нуля.

Нехай $\ \mu (E)>0$ , при цьому всі $\ \mu (E_{n})$ — рівні один одному внаслідок інваріантності міри Лебега. Тоді внаслідок зліченної адитивності міри Лебега $\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})>1$ , що неможливо, оскільки $\mu ([0,\;1])=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})=\mu (E)=1$ .

Тоді нехай $\ \mu (E)=0$ . Але це також неможливо, оскільки в такому випадку $\mu ([0,\;1])=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\mu (E)$ , що суперечить визначенню міри Лебега, бо для відрізка $[0,\;1]$ ця міра дорівнює $1$ за визначенням міри Лебега.

Джерела

Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ(інші мови), 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)