Конгруенція

Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.

Визначення

Відношення $\theta (x_{1},\ldots ,x_{m})$ на множині $A$ називають стабільним відносно $n$-арної операції $f$, визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів $a_{i1},\ldots ,a_{im}$ ($i=1,\ldots ,n$) множини $A$ з істинності відношень $\theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})$ ($i=1,\ldots ,n$) випливає істинність відношення $\theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))$.

Відношення $\theta$ називають конгруенцією на алгебричній системі ${\mathfrak {A}}$, якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи ${\mathfrak {A}}$. (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи ${\mathfrak {A}}$.)

Фактор-структура

Для алгебричної системи ${\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})$ на фактор-множині $A/\theta$ за конгруенцією $\theta \subseteq A^{2}$ для всіх операцій $f_{i}\in {\mathit {\Phi }}$ і відношень $r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}$ природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:

$f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }$,

$r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})$.

Отримана система позначається ${\mathfrak {A}}/\theta$ і називається фактор-структурою, а відображення $h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta$, яке визначається правилом $h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }$ — канонічним епіморфізмом.

Множина всіх конгруенцій даної системи $\mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})$ утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:

$\theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b$.

Для будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи $\{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})$ має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:

${\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}$.

Джерела

• Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра / Под ред. Л.А.Скорнякова. — М. : Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (СМБ) — ISBN 5-02-014427-4.(рос.)