Групи симетрії

Група симетрії (також група симетрій) деякого об'єкта (багатогранника або множини точок метричного простору) ― група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом, з композицією в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок n-вимірного евклідового простору і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках.

Приклади

Група симетрії відрізка в одновимірному просторі містить два елементи: тотожне перетворення і відбиття відносно середини відрізка. Але в двовимірному евклідовому просторі існує вже 4 рухи, що переводять заданий відрізок у себе. У тривимірному просторі відрізок володіє нескінченною множиною симетрій (елементами групи симетрії будуть, зокрема, повороти на довільний кут навколо прямої, що містить цей відрізок).
Група симетрії рівностороннього трикутника на площині складається з тотожного перетворення, поворотів на кути 120° і 240° навколо центру трикутника і відбиттів щодо його висот. В цьому випадку група симетрії складається з 6 перетворень, які здійснюють всі можливі перестановки вершин трикутника. Отже, ця група ізоморфна симетричній групі S₃. Однак група симетрії квадрата має порядок 8, а симетрична група S₄ ізоморфна групі симетрії правильного тетраедра.
Група симетрії різнобічного трикутника тривіальна, тобто складається з одного елемента ― тотожного перетворення.
Якщо вважати, що людське тіло дзеркально симетричне, то його група симетрії складається з двох елементів: тотожного перетворення і відбиття відносно площини, яка поділяє тіло на симетричні одна одній праву і ліву частини.
Довільне періодичне замощення площини (або орнамент^[1]) має групу симетрії, елементи якої усіма можливими способами суміщують певний фіксований елемент замощення з кожним конгруентним йому елементом. Це частковий (двовимірний) випадок кристалографічних груп, про які сказано далі.
Групи симетрії решіток. В різних галузях математики використовуються різні поняття решітки. Зокрема:
- У фізиці твердого тіла і теорії кристалографічних груп кристалічна решітка — це множина точок афінного простору, що має трансляційну симетрію. Симетрії цієї множини повинні зберігати відстань між точками, тобто бути рухами. Група цих рухів — це кристалографічна група (або сюр'єктивно гомоморфно відображається в кристалографічну групу)^[2].
- В теорії груп ґратка — це група, ізоморфная $\mathbb {Z} ^{n}$ з білінійною формою на ній (у тривимірному евклідовому просторі відповідає Ґратці Браве з теорії кристалографічних груп з виділеним початком координат). Симетрії такої ґратки повинні бути автоморфізмами групи. Група таких автоморфізмів, на відміну від кристалографічної групи, скінченна, якщо білінійна форма ґратки відповідає евклідовому простору^[3].

Класифікація

Ниже вважається, що для кожної точки $x\in \mathbb {E} ^{n}$ множина образів $\{g(x)|g\in G\}$ , де $G$ — група симетрії, топологічно замкнута.

Одновимірний простір

Кожен рух одновимірного простору є або перенесенням всіх точок прямої на деяку фіксовану відстань, або відбиттям відносно деякої точки. Множина точок одновимірного простору має одну з таких груп симетрії:

тривіальна група; C₁;
група, що складається з тотожного перетворення і відбиття відносно точки (ізоморфна циклічній групі C₂);
нескінченні групи, що складаються із степенів деякого перенесення (ізоморфна нескінченній циклічній групі);
нескінченні групи, для яких твірними є деяке перенесення і відбиття відносно деякої точки;
група всіх перенесень (ізоморфна адитивній групі дійсних чисел);
група всіх перенесень і відбиттів відносно кожної точки прямої.

Двовимірний простір

У двовимірному випадку групи симетрії поділяються на такі класи:

циклічні групи C₁, C₂, C₃, …, що складаються з поворотів навколо нерухомої точки на кути, кратні 360°/n;
діедральні групи D₁, D₂, D₃, …;
спеціальна ортогональна група SO(2);
ортогональна група O(2);
7 груп бордюру;
17 груп орнаменту (або плоских кристалографічних груп);
нескінченні групи, які виходять з одновимірних груп симетрії додаванням перенесень вздовж напрямку, перпендикулярного до початкової прямої;
попередній пункт, до якого додається симетрія відносно початкової прямої.

Тривимірний простір

Перелік скінченних груп симетрії складається з 7 нескінченних серій і 7 випадків, що розглядаються окремо. У цей перелік входять 32 точкові кристалографічні групи і групи симетрії правильних багатогранників.

Неперервні групи симетрії включають:

групу симетрії прямого кругового конуса
групу симетрії кругового циліндра
групу симетрії сфери

Див. також

Примітки

↑ У математиці замощення простору називається мозаїкою або паркетом
↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.
↑ J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.

Література

Українською

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Г. Вейль. Симметрия. — М. : Наука, 1968.
Miller, Willard Jr. Symmetry Groups and Their Applications. — New York: Academic Press, 1972.

[1] У математиці замощення простору називається мозаїкою або паркетом

[2] Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.

[3] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.

[1]

[2]

[3]