Вимірна множина

Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.^{[джерело?]}

В сенсі Лебега

Множина $A$ називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного $\varepsilon >0$ знайдеться така елементарна множина $B$, що:

$\mu ^{*}(A\triangle B)<\varepsilon$,

де:

• $\mu ^{*}(A)$ — зовнішня міра множини. Якщо функція $\mu ^{*}(A)$ розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
• $\triangle$ — симетрична різниця множин.

Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.

Властивості

• Сукупність ${\mathfrak {M}}_{E}$ вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
• Функція μ σ-адитивна на ${\mathfrak {M}}_{E}$.
• Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
• Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
• Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
• Довільна множина $A$ зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.

Невимірні множини

Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.

Див. також

• Вимірна функція
• Міра множини
• Інтеграл Лебега

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)