İçeriğe atla

Terim testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testi[1] bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

  • ise veya limit yok ise, o zaman ıraksar.

Çoğu yazar bu teste isim vermez veya verirlerse de kısa bir isim verir.[2]

Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

  • ise, o zaman yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir.[3] Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:

  • p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin ıraksak olduğunu söyler.
  • 0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
  • 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

  • yakınsarsa, o zaman olur.

Limit manipülasyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

sn serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için

anlamına gelir. O zaman:[4]

olur.

Cauchy ölçütü

[değiştir | kaynağı değiştir]

Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir: Her için bir N sayısı vardır öyle ki

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p = 1 koymak ise tanımın ifadesini,[5] yani

ifadesini kurtarır.

Terim testinin en basit çeşidi gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.[6]

  1. ^ Kaczor sf.336
  2. ^ Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi demektedir.
  3. ^ Rudin sf.60
  4. ^ Brabenec sf.156; Stewart sf.709
  5. ^ Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır.
  6. ^ Hansen sf.55; Şuhubi sf.375
  • Brabenec, Robert (2005), Resources for the study of real analysis, MAA, ISBN 0-88385-737-5 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific, ISBN 981-256-563-9 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003), Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2050-8 
  • Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of mathematical analysis (3 bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X 
  • Stewart, James (1999), Calculus: Early transcendentals (4 bas.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-36298-2 
  • Şuhubi, Erdoğan S. (2003), Functional Analysis, Springer, ISBN 1-4020-1616-6