Kurtulma hızı

Uzay Mekiği Atlantis bir görev için UUİ'ye fırlatılırken görülüyor. Mekik, Dünya'nın yerçekimsel alanını terk etmeyeceği için fırlatılışta kurtulma hızına ulaşması gerekmez.

Fizikte, kurtulma hızı kütleçekim alanındaki (yerçekimi etkisindeki) herhangi bir cismin kinetik enerjisinin söz konusu alana bağıl potansiyel enerjisine eşit olduğu andaki hızıdır. Genellikle üç boyutlu bir uzayda bulunan cismin kendisini etkileyen kütleçekim alanından kurtulabilmesi için ulaşması gereken sürati ifade eder.

Ayrıntılı tanım

Isaac Newton'un kurtulma hızı ile ilgili bu diyagramı dünyanın aynı noktasından, aynı yönde ancak farklı hızlarda fırlatılan cisimlerin izleyecekleri yolu (yörünge) betimlemektedir. E yörüngesinin kurtulma hızının üzerinde fırlatılan cisme ait olduğu anlaşılmaktadır. Dolayısıyla bu cisim dünyanın yerçekiminden kaçabilecektir.

Belirli bir kütleçekimsel alan etkisi altında ve pozisyonda, bir cismin kütleçekim kaynağından herhangi bir ek ivme gerektirmeden kaçabilmesi için sahip olması gereken minimum hız o cismin kurtulma hızıdır. Kurtulma hızına sahip cisim, kaçmaya çalıştığı kütleye geri düşmez veya o cisim etrafında herhangi bir yörüngede (orbit) hareket etmez. Kurtulma hızı teoride yönden bağımsızdır; yani bu hıza sahip cisim üç boyutlu bir uzayda hangi yönde hareket ediyor olursa olsun çekim kaynağından kaçmayı başaracaktır. Ancak yön, pratik uzay uygulamalarında önemlidir. Çünkü uzay mühendisliği bilimince de sıkça incelendiği gibi, cismin fırlatılış hızı ile beraber sahip olacağı son yörüngeyi belirler. Dolayısıyla, kutupsal (polar) yörüngeye yerleştirilecek bir uyduyu taşıyan füzeye atmosferdeki yükselişi esnasında verilecek yön ile eliptik bir yörüngeye yerleştirilecek başka bir uyduyu taşıyan füzeye verilecek yön, hemen hemen aynı yükseliş hızına sahip de olsalar, farklıdır. Kurtulma hızına ulaştırılıp, Dünya'nın yerçekim alanını terk ettirilecek (örn. uzay sondaları) gibi cisimler fırlatılışın genellikle tüm aşamalarını atmosfere dik olarak geçtikten sonra uzay ortamında ateşlenen nispeten küçük roket motorlarıyla gidecekleri hedef gezegene doğru yönlendirilirler.

Aynı fiziksel teoremi tersten düşünecek olursak, tek merkezli bir gravitasyonel (kütleçekimsel) alanın etkisi altında ve sonsuz uzaklıktaki bir cisim, söz konusu kütleçekimsel alanı yaratan kütleye yaklaşırken en fazla o cisimden kaçarken erişmesi gereken minimum hız olan kurtulma hızında seyir edecektir. Kurtulma hızı genellikle kütlelerin yüzeyinde ölçülür. Yani, "Dünya'nın kurtulma hızı 11.2 km/sn'dir" dediğimizde aslında Dünya'nın yüzeyinde, deniz seviyesindeki bir konuma relatif kurtulma hızından bahsederiz. Buna nazaran, örneğin 9,000 km yüksekte (uzayda) cismin Dünya'nın yerçekiminden kaçması için sahip olması gereken kurtulma hızı 7.1 km/s'dir. Bir başka deyişle, cisim yerçekim kaynağından uzaklaştıkça, o kaynaktan kaçabilmesi için erişmesi gereken kurtulma hızı azalır.

Terimin yanlış kullanımları

Kurtulma hızı, herhangi bir cismin büyük kütlenin etrafındaki herhangi bir yörüngeden çıkması için sahip olması gereken hızla karıştırılmamalıdır. Belirli bir motor ve hareket kabiliyetine sahip cisim (örneğin bir helikopter), büyük kütlenin kütle merkezinden istediği herhangi bir hızda uzaklaşabilir. Uzaklık arttıkça, cismin büyük kütlenin yerçekiminden ilelebet kurtulabilmesi için çıkması gereken hız azalacaktır. Yani, cismin büyük kütlenin çekim etkisinden kurtulabilmesi için cisme verilmesi gereken ilk hızdır.

Bazı bilinen gök cisimlerinin kurtulma hızları

Gezegenimizin yerçekimsel alanından kaçabilmesi için cismin 11.2 km/s'lik bir kurtulma hızına ulaşması gerekir. Cismin, Güneş'in kurtulma hızına ulaşıp, Güneş Sistemi'ni terk edebilmesi için ise 42.1 km/s'lik sürate ulaşmalıdır.

Fırlatılış yeri	Kaçılan gökcismi	Ve		Fırlatılış yeri	Kaçılan gökcismi	Ve
Güneş'in yüzeyi,	Güneş:	617.5 km/sn
Merkür'ün yüzeyi,	Merkür:	4.4 km/sn		Merkür'ün yüzeyi,	Güneş:	67.7 km/s
Venüs'ün yüzeyi,	Venüs:	10.4 km/sn		Venüs'ün yüzeyi,	Güneş:	49.5 km/s
Dünya'nın yüzeyi,	Dünya:	11.2 km/sn		Dünya'nın yüzeyi,	Güneş:	42.1 km/s
Ay'ın yüzeyi,	Ay:	2.4 km/sn		Ay'ın yüzeyi,	Dünya:	1.4 km/s
Mars'ın yüzeyi,	Mars:	5.0 km/sn		Mars'ın yüzeyi:	Güneş:	34.1 km/s
Jüpiter'in yüzeyi,	Jüpiter:	59.5 km/sn		Jüpiter'in yüzeyi,	Güneş:	18.5 km/s
Satürn'ün yüzeyi,	Satürn:	35.5 km/sn		Satürn'ün yüzeyi,	Güneş:	13.6 km/s
Uranüs'ün yüzeyi,	Uranüs:	21.3 km/sn		Uranüs'ün yüzeyi,	Güneş:	9.6 km/s
Neptün'ün yüzeyi,	Neptün:	23.5 km/sn		Neptün'ün yüzeyi,	Güneş:	7.7 km/s
Güneş Sistemi,	Samanyolu galaksisi:	~1000 km/sn
Herhangi bir Karadeliğin yüzeyi,	Karadelik	≥ 299,792.458 km/sn

Atmosfer yüzünden Dünya yüzeyine yakın irtifalarda cisme 11.2 km/s'lik hipersonik bir hız kazandırmak, cismin hava molekülleri ile çarpışması sonucu yanarak parçalanmasına sebep olacağından pratikte mümkün değildir. Gerçek uzay uygulamalarında, atmosferin yavaşlatıcı etkisini egale etmek için cisim öncelikle alçak Dünya yörüngesine yerleştirilir, sonra ikinci bir motor ateşlemesiyle kurtulma hızına ulaştırılır.

Kurtulma hızının hesaplanması

Tek merkezli, basit bir çekim alanından kurtulma durumunda kurtulma hızı, cismin sahip olduğu kinetik enerjinin kütleçekimsel potansiyel enerjiye (eksi) eşit olduğu andaki meblâdır.

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv_{e}^{2}={\frac {GMm}{r}}$

$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}={\sqrt {2gr\,}}.$

Burada $v_{e}$ kurtulma hızı, G kütleçekim sabiti, M kaçılan cismin kütlesi, m kaçan cismin kütlesi, g yerçekimi ivmesi, r cismin merkezi ile kurtulma hızının hesaplandığı nokta arasındaki mesafe ve μ ise standart kütleçekim parametresini sembolize etmektedir.

Belirli bir irtifada kurtulma hızı, o irtifada dairesel orbitte hareket eden cismin hızının ${\sqrt {2}}$ katına eşittir. Küresel olarak homojen dağılımlı bir kütleye sahip cisim için yüzeyden kaçışta ihtiyac duyacağı kurtulma hızı $v_{e}$ (m/s cinsinden) yaklaşık 2.364×10⁻⁵ m^1.5kg^−0.5s⁻¹ çarpı yarıçap r (metre cinsinden) çarpı averaj yoğunluğun ρ (kg/m³ cinsinden) karekökü olur.

$v_{e}\approx 2.364\times 10^{-5}r{\sqrt {\rho }}.\,$

Kurtulma hızını işlemce kullanarak türevleme

Aşağıdaki türevlerde Newton'un evrensel çekim kanunu, Newton'un hareket kanunları ve integral işlemce kullanılmıştır.

g ve r kullanarak türevleme

Dünya'nın kurtulma hızı, yüzeyindeki standart yerçekimine bağıl ivme g kullanılarak elde edilebilir. Bu durumda Dünya'nın toplam kütlesi M veya yerçekimi sabitini G'nin bilinmesine de gerek yoktur. Şimdi,

r = Dünya'nın yarıçapı

g = Dünya'nın yüzeyindeki yerçekim ivmesi

olsun. Dünya'nın yüzeyinin üzerindeki irtifalarda, yerçekimi ivmesi Newton'un evrensel çekim kanunu'ndaki ters kare ilişkisi ile bulunur. Dünya'nın yüzeyinden s yükseklikteki bir noktada (ve s > r olduğunda) yerçekimi ivmesi $g(r/s)^{2}$'dir. Burada m kütlesine sahip cismin yüzeydeki ağırlığı gm iken, s yüksekliğindeki ağırlığı gm (r / s)² olur. Dolayısıyla, m kütleli ve yüzeyden s yükseklikteki cismi, yüzeyden s ds yüksekliğine çıkartabilmek için ihtiyaç duyulan enerji gm (r / s)² ds olacaktır. Bu değer s arttıkça hızla azalacağından dolayı, cismin sonsuz yüksekliğe çıkartılabilmesi için ihtiyaç duyulan toplam enerji sonsuza ulaşmaz ve sonlu bir meblaya yaklaşır. Bu mebla yukarıdaki ifadenin integralidir:

$\int _{r}^{\infty }gm(r/s)^{2}\,ds=gmr^{2}\int _{r}^{\infty }s^{-2}\,ds=gmr^{2}\left[-s^{-1}\right]_{s:=r}^{s:=\infty }$

$=gmr^{2}\left(0-(-r^{-1})\right)=gmr.$

Bu, m kütleli cismin gezegenin yerçekiminden kaçabilmesi için sahip olması gereken kinetik enerjidir. Tabi v hızıyla ilerleyen ve m kütleli cismin toplam kinetik enerjisi E_k = (1/2)mv² formülü ile hesaplandığına göre,

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}=gmr.$

şeklinde bir eşitlik kurabiliriz. Burada m'ler birbirini iptal eder ve eşitliği v için çözersek,

$v={\sqrt {2gr\,}}.$

sonucuna ulaşırız. Dünya'nın yarıçapını r = 6400 kilometre, yüzeyindeki yerçekimi ivmesini de g = 9.8 m/s² olarak alırsak,

$v\cong {\sqrt {2\left(9.8\ {\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}\right)(6.4\times 10^{6}\ \mathrm {m} )}}=11\,200\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

olacaktır. Bu rakam Isaac Newton'un hesapladığı 11 km/s'lik meblanın biraz üzerindedir.

G ve M kullanarak türevleme

Aşağıdaki eşitlikte G kütleçekim sabiti, M de Dünya'nın veya yerçekiminden kaçılacak başka bir kaynağın kütlesi olsun.

$ma=m{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\,$

$a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

Burada türevin zincir kuralını uygulayabiliriz.

${\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dr}}\cdot {\frac {dr}{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

Eğer $v={\frac {dr}{dt}}$ ise,

${\frac {dv}{dr}}\cdot v=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

$v\cdot dv=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,dr\,$

$\int _{v_{0}}^{v(t)}v\,dv=-\int _{r_{0}}^{r(t)}{\frac {GM}{r^{2}}}\,dr\,$

${\frac {v(t)^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r(t)}}-{\frac {GM}{r_{0}}}\,$

olacaktır. Biz buradan kurtulma hızını (v₀) istediğimize göre,

$t\rightarrow \infty \ \ r(t)\rightarrow \infty$ ve $v(t)\rightarrow 0$

$-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}=-{\frac {GM}{r_{0}}}\,$

$v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}\,$

Buna göre v₀ kurtulma hızı, r₀ de kaçılan gezegenin yarıçapıdır. Bu noktada okuyucuya yukarıdaki türevde ataletsel kütle ile kütleçekimsel kütle arasındaki sayısal eşitliğin esas alındığını hatırlatmak yerinde olacaktır.

Türevler tutarlı mıdır?

Yerçekimine bağlı-kütleçekimsel-- ivmeye (g), kütleçekim sabiti G ve gezegenin kütlesi M kullanılarak erişilebilinir:

$g={\frac {PM}{r^{2}}}=(FUN^{7}),$

Burada r gezegenin yarıçapı olduğuna göre,

$v={\sqrt {2gr\,}}={\sqrt {{\frac {2GMr}{r^{2}}}\,}}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\,}},$

olur. Dolayısıyla yukarıda verilen iki türev birbiriyle tutarlıdır.

Birden fazla kütleçekim kaynağı ve vektörel etkiler

Birden fazla çekim kaynağının bulunduğu kompleks senaryolarda cismin ortamdan kaçması için ihtiyaç duyduğu net kurtulma hızı, cismin bulunduğu vektörde sahip olduğu her etki kaynağına bağıl potansiyel enerjilerin toplanması ile elde edilir. Dolayısıyla, cisim için tüm sistemden kurtulma hızı, her bir etki kaynağının kurtulma hızlarının karelerinin toplamının kare köküne eşit olacaktır.

Buna bir örnek verecek olursak, Dünya'nın yüzeyinden fırlatılacak bir cisim için hem Dünya'ya hem de Güneş'e bağıl net kurtulma hızı $\scriptstyle {\sqrt {11.2^{2}\ \ 42.1^{2}}}\ =\ 43.56\ \mathrm {km} /\mathrm {s}$ şeklinde ifade edilir. Buna bînayen, cisim dünyanın güneş etrafındaki 30 km/s'lik naturel yörüngesel vektöre paralel fırlatıldığında, cismin güneş sistemini terk edebilmesi için ~13.6 km/s'lik öz kurtulma hızına sahip olması yeterlidir.

Yerçekim drenajı

Kütlesel yoğunluğun gezegen içinde homojen olarak dağılmasi gibi hipotezsel bir varsayımda bulunacak olursak, cismin söz konusu gezegenin yüzeyinden merkezine doğru uzanan silindir şeklindeki uzun bir tünele (sürtünmesiz ortam) bırakıldığında erişeceği en yüksek hız, mevzû bahis gezegenin kurtulma hızının $\scriptstyle {\sqrt {2}}$'ye bölümüne eşittir. Bu sayı aynı zamanda cismin düşük irtifada gezegen etrafında tam dairesel yörüngedeki hızıyla da eşdeğerdir. Buna göre, cismin gezegenin merkezinden fırlatıldığında erişmesi gereken kurtulma hızı, yüzeyinden fırlatıldiğında erişmesi gereken hızın $\scriptstyle {\sqrt {1.5}}$ katı olacaktır.

Elbette uzay mühendislerince kullanılan daha gerçekçi kurtulma hızı hesaplamaları gezegenlerin yoğunluğunun kütlesi boyunca heterojen ve düzensiz dağıldığı gerçeği göz ardı edilmeden yapılır.

Ayrıca bakınız

• Yerçekimi
• Uzay mekiği
• Karadelik - Çekim etkisinden kaçabilmek için ışık hızına eşit kurtulma hızı gerektiren bir gökcismi!