Açıortay teoremi

Şekilde ${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$'dir.

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Teorem

Bir $\triangle ABC$ üçgeni düşünün. $\angle A$ açısının açıortayının $B$ ile $C$ arasındaki $D$ noktasında $BC$ kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, $BD$ doğru parçasının uzunluğunun $DC$ parçasının uzunluğuna oranının $AB$ kenarının uzunluğunun $AC$ kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},$

ve tersine, $\triangle ABC$ üçgeninin $BC$ kenarındaki $D$ noktası $BC$'yi $AB$ ve $AC$ kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra $AD$, $\angle A$ açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer $D$, $BC$ doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.$

$AD$, $\angle BAC$'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. $D$, $BC$ bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

İspatlar

İspat 1

Yukarıdaki diyagramda, $\triangle ABD$ ve $\triangle ACD$ üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

   

${\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}$

(1)

   

   

${\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}$

(2)

   

$\angle BDA$ ve $\angle ADC$ açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

${\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.$

$\angle BAD$ ve $\angle DAC$ açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},$

bu da açıortay teoremi'dir.

$\angle BAD$ ve $DAC$ açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},$

${{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.$

$\angle BDA$ ve $\angle ADC$ açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},$

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

İspat 2

$D$, $BC$ doğrusu üzerinde bir nokta olsun, $B$ veya $C$'ye eşit olmasın ve $AD$, $\triangle ABC$ üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani $BD$ doğrusuna dik olmasın).

$B_{1}$, $\triangle ABD$ üçgeninin $B$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve $C_{1}$, $\triangle ACD$ üçgeninin $C$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, $D$ kesinlikle $B$ ile $C$ arasındaysa, $B_{1}$ veya $C_{1}$'den biri ve yalnızca biri, $\triangle ABC$ üçgeninin içinde yer alır ve $B_{1}$'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. $D$, $BC$ segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne $B_{1}$ ne de $C_{1}$ üçgenin içinde yer alır.

$\angle DB_{1}B$ ve $\angle DC_{1}C$ dik açılar iken, $D$, $BC$ segmentinde yer alıyorsa (yani, $B$ ve $C$ arasında) $\angle B_{1}DB$ ve $\angle C_{1}DC$ açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler $\triangle DB_{1}B$ ve $\triangle DC_{1}C$ benzerdir (AAA), yani

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.$

$D$ bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

${\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ ve }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,$

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

İspat 3

$\alpha ={\tfrac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD$

Hızlı bir kanıt, $A$'daki açıortay ile oluşturulan $\triangle BAD$ ve $\triangle CAD$ üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani $g$ taban ve $h$ yükseklik olmak üzere ${\tfrac {1}{2}}gh$ şeklinde ve $a$, $b$ kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı $\gamma$ olmak üzere ${\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )$ şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

$h$, tabanı $BC$ olan üçgenlerin yüksekliği ve $\alpha$ $A$'daki açının yarısı olsun. Sonra,

${\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}$

ve

${\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$

buradan da

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$

bulunur.

Dış açıortaylar

Dış açı ortaylar (kırmızı nokta ile gösterilen):
$D$, $E$, $F$ noktaları eşdoğrusaldır ve oranlar için aşağıdaki denklemler geçerlidir:
${\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}$, ${\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}$, ${\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}$

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, $A$'daki dış açıortay $E$'de uzatılmış kenar $BC$ ile kesişiyorsa, $B$'deki dış açıortay $D$'de uzatılmış kenar $AC$ ile kesişir ve $C$'deki dış açı açıortay $AB$ uzatılmış kenar ile $F$'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:${\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$, ${\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}$, ${\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}$

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları $D$, $E$ ve $F$ arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.

Tarihçe

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:

“	Bir üçgenin bir açısı, karşı kenarı veya zıt kenarı kesen düz bir çizgi ile içten veya dıştan ikiye bölünürse, o tarafın dilimleri üçgenin diğer kenarları ile aynı orana sahip olacaktır ve eğer bir üçgenin bir kenarı, parçalarının üçgenin diğer kenarlarıyla aynı orana sahip olması için içten veya dıştan bölünüyorsa, kesit noktasından ilk bahsedilen kenarın karşısındaki açısal noktaya çizilen düz çizgi bu açısal noktada iç veya dış açıyı ikiye böler.	„

Konuyla ilgili yayınlar

• G.W.I.S Amarasinghe (2012), "On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 1 (1), ss. 15-27, 13 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi 

Dış bağlantılar

• "A Property of Angle Bisectors". Cut-the-Knot. 24 Kasım 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "Intro to angle bisector theorem". Khan Academy. 14 Kasım 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.