Deltoid eğrisi

düzlem eğri, 3-çentikli hiposikloid

Geometride, triküspoid eğri veya Steiner eğrisi olarak da bilinen deltoid eğri, üç çentikten oluşan bir hiposikloiddir. Başka bir deyişle, bir çemberin çevresi üzerindeki bir noktanın, yarıçapının üç veya bir buçuk katı olan bir çemberin içinde kaymadan yuvarlanırken oluşturduğu yuvarlanma eğrisidir. Adını, benzediği büyük Yunanca delta (Δ) harfinden alır.

                     Sabit dış çember                      Yuvarlanan çember (dış çemberin yarıçapının 1/3'ü)                      Yuvarlanan çember üzerinde çevresel bir noktanın izlenmesi ile oluşan deltoid eğri

Daha geniş anlamda, bir "deltoid", dışa doğru içbükey olan eğrilerle bağlanmış üç köşesi olan ve iç noktaları dışbükey küme olmayan herhangi bir kapalı şekle atıfta bulunabilir.[1]

Denklemler

değiştir

Bir hiposikloid (döndürme ve ötelemeye kadar) aşağıdaki parametrik denklemler ile temsil edilebilir:

 
 

burada a yuvarlanan çemberin yarıçapı, b söz konusu çemberin içinde yuvarlandığı çemberin yarıçapı ve t sıfır ile 6π arasında değişir. (Yukarıdaki çizimde b = 3a deltoidi izliyor).

Karmaşık koordinatlarda bu şu hale gelir;

 .

Kartezyen denklemi vermek için t değişkeni bu denklemlerden çıkarılabilir;

 

dolayısıyla deltoid dördüncü dereceden bir düzlem cebirsel eğridir. Kutupsal koordinatlarda bu şöyle olur:

 

Eğrinin  'e karşılık gelen üç tekilliği vardır. Yukarıdaki parametrelendirme eğrinin rasyonel olduğunu ve genusun sıfır olduğunu ima eder.

Bir doğru parçası her bir ucu deltoid üzerinde olacak şekilde kayabilir ve deltoide teğet kalabilir. Teğetlik noktası deltoidin etrafını iki kez dolaşırken her bir uç deltoidin etrafını bir kez dolaşır.

Deltoidin eşiz eğrisi şöyledir:

 

ve orijinde bir çift noktası vardır, bu nokta y ↦ iy hayali dönüşü ile çizim için görünür hale getirilebilir, bu da

 

eğrisini gerçek düzlemin orijininde bir çift nokta ile verir.

Alan ve çevre

değiştir

Deltoidin alanı  'dir, burada yine a yuvarlanan dairenin yarıçapıdır; dolayısıyla deltoidin alanı yuvarlanan dairenin iki katıdır.[2]

Deltoidin çevresi (toplam yay uzunluğu) 16a'dır.[2]

Tarihçe

değiştir

Sıradan sikloidler Galileo Galilei ve Marin Mersenne tarafından 1599 gibi erken bir tarihte incelenmiştir ancak sikloidal eğriler ilk olarak 1674 yılında Ole Rømer tarafından dişli dişleri için en iyi biçim üzerinde çalışırken düşünülmüştür. Leonhard Euler gerçek deltoidin ilk kez 1745 yılında optik bir problemle bağlantılı olarak ele alındığını iddia etmektedir.

Uygulamalar

değiştir

Deltoidler matematiğin çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin:

Ayrıca bakınız

değiştir
  1. ^ "Area bisectors of a triangle". www.se16.info. 10 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Ekim 2017. 
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html 25 Ekim 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  3. ^ Lockwood
  4. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
  5. ^ "Medians and Area Bisectors of a Triangle". 10 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 

Kaynakça

değiştir