İkili işlem

Eğer $X$ bir kümeyse, $X\times X$ kümesinden $X$ kümesine giden bir fonksiyona $X$ kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi $f:X\times X\longrightarrow X$ olarak gösterirsek, $f(x,y)$ yerine genellikle $x y$, $x\times y$, $x\star y$ ya da daha yaygın olarak $xy$ yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her $x,y\in X$ için, işlemin sonucu olan $x\star y$ elemanının yine $X$ kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, $X=N$ (doğal sayılar kümesi) ise, $x-y$ işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin, $5-7=-2$ bir doğal sayı değildir. Öte yandan $x\star y=3 xy x y$ olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

$x y$ yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her $x,\,y$ için $x\star y=y\star x$ olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her $x,\,y,\,z$ elemanı için $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ eşitliği aranır, örneğin $x^{3}$ elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için $x\star (x\star x)=(x\star x)\star x$ eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her $x\in X$ için ex = x eşitliğini sağlayan bir $e\in X$ elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse $e=ef=f$ olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin $x\star y=y$ olarak tanımlanan işlemde her $x\in X$ soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her $x\in X$ için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman $a=ab=b$ olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer $f,\,g\in$ Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her $x\in X$ için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id$_{X}$ olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

Ayrıca bakınız

• İşlem
• Öbek
• Grup (matematik)
• Halka
• Cisim
• Soyut cebir