พี (ความซับซ้อน)

ในเชิงของ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (polynomial time)

พี ประกอบด้วย ปัญหาที่สำคัญหลายอย่างที่มีประโยชน์ในชีวิต เช่น ปัญหาการหาตัวหารร่วมมากระหว่างจำนวนสองจำนวน ปัญหาการจับคู่มากที่สุด (Maximum Matching) ปัญหาจำนวนเฉพาะ ปัญหากำหนดการเชิงเส้น (Linear program)

พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่นักวิจัยเรียกว่า "ง่าย" แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วปัญหาที่ใช้เวลาในการหาคำตอบ $n^{100000}$ ไม่น่าจะถือว่าง่ายก็ตาม

ทำไมจึงเรียกพีว่า "ง่าย"

มีหลายเหตุผลที่การทำงานเป็นพหุนามกับขนาดของอินพุตเป็นตัวแทนของความง่าย ตัวอย่างของเหตุผลเหล่านั้นก็คือ

• การเพิ่มขนาดของอินพุตเป็นสองเท่าส่งผลให้เวลาการทำงานโตขึ้นเป็นค่าคงที่เท่านั้น (ในแง่นี้ให้เปรียบเทียบกับฟังก์ชันที่เป็น exponential) ซึ่งการเพิ่มขนาดของอินพุตเป็นสองเท่าอาจจะทำให้เวลาการทำงานโตขึ้นเป็นกำลังสองหรือมากกว่านั้น

• ฟังก์ชันพหุนามมีสมบัติการปิดภายใต้ composition นั่นก็คือ หากเรามีขั้นตอนวิธี A ที่ทำงานรวดเร็ว (เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต) และขั้นตอนวิธี B สามารถเรียกใช้ขั้นตอนวิธี A เพื่อทำงานได้ หากเรารู้ว่า B เรียกใช้ A เป็นจำนวนครั้งที่เป็นฟังก์ชันพหุนาม เวลาการทำงานรวมก็จะยังเป็นฟังก์ชันพหุนามอยู่ หรือหากจะพูดให้เป็นทางการก็คือ $P^{P}=P$ (ปัญหาที่อยู่ในพี มีสมบัติการปิดภายใต้การเรียกใช้ออราเคิล) สมบัตินี้ทำให้เราสามารถออกแบบขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพโดยการมองอีกขั้นตอนวิธีหนึ่งเป็นกล่องดำ (Black Box) ได้

ความสัมพันธ์กับกลุ่มอื่นๆ

เราพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างพีกับกลุ่มที่ใกล้เคียงกับพี ความสัมพันธ์ในปัจจุบันที่รู้คือ

$L\subseteq NL\subseteq P=AL\subseteq NP\subseteq PSPACE\subseteq EXP$

• เรารู้ว่า พี ไม่เท่ากับ อีเอ็กซ์พี เนื่องมาจาก ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา
• เรารู้ว่า แอล ไม่เท่ากับ พีสเปซ เนื่องมาจาก ทฤษฎีลำดับชั้นของเนื้อที่
• แอลกับเอ็นแอลเล็กกว่าพีเพราะว่า เวลาในการทำงานถูกจำกัดด้วยจำนวนของ configuration ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งมีค่าขึ้นกับ
  • ตำแหน่งของหัวอ่าน (head position)
  • สถานะของเครื่องจักรทัวริง (state)
  • ข้อมูลบนเทป (tape content)

ดังนั้นองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเครื่องจักรทัวริงที่ใช้เนื้อที่ไม่เกิน $O(\log n)$ จะเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต

• พีและเอ็นพีเล็กกว่าพีเสปซเพราะว่าเราสามารถจำลองการทำงานของเครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดได้ โดยใช้หลักการของ Depth First Search และขนาดของแสต็กที่ใช้จะไม่เกินฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต

ปัญหาที่ยากที่สุดที่อยู่ในพีก็คือ พีบริบูรณ์

หากเราสนใจกลุ่มความซับซ้อนพี แบบที่เป็น non-uniform เราจะได้นิยามของ P/poly ซึ่งเป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ปัญหาภายในกลุ่มสามารถแก้ได้ด้วยกลุ่มของวงจร (family of circuit) ที่มีขนาดเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (แท้จริงแล้ว พี/โพลี สามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งด้วยการใช้เครื่องจักรทัวริงที่รับคำแนะนำได้ และนิยามทั้งสองแบบนี้พิสูจน์ได้ว่าเหมือนกัน)