சமச்சீர் குலம்

கணிதத்தில் சமச்சீர் குலம் என்பது $n$ பொருள்களின் எல்லா வரிசைமாற்றங்கள் கொண்ட ஒரு கணத்தில் அவ்வரிசைமாற்றங்களுடைய சேர்வையால் வரையறுக்கப்பட்ட குலம் ஆகும். எங்கெல்லாம் சமச்சீர் கருத்து உள்ளதோ அங்கெல்லாம் இக்குலத்தின் தாக்கம் இருக்கும்.

வரிசைமாற்றங்களின் சேர்வை

n உறுப்புகள் உள்ள ஒரு கணத்தின் எல்லா வரிசைமாற்றங்களையும் ஒன்றுக்கொன்று சேர்க்கக்ககூடிய சேர்வை விதி ஒன்றிருக்கிறது.அதாவது, {1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}$

$\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}$

என்றால்,

$\sigma \circ \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&2&5&3\end{pmatrix}}$

அதாவது, முதலில் $\tau$; பிறகு $\sigma$. வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. $\sigma \circ \tau$ வை $\sigma \tau$ என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

சமச்சீர் குலம்

$n$ பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் $S_{n}$ என்று குறிக்கப்படும். இதனில் $n!$ வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம் (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது $n!$ உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

$e={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}$.

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. ::$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}$ என்றால் அதன் நேர்மாறு

= $\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&3&2&1\end{pmatrix}}$

பரிமாறாக்குலம்

S₁, S₂ ஐத்தவிர மீதமெல்லா சமச்சீர் குலங்களும் பரிமாறாக் குலங்களே. 6 ஆவது கிரமமுள்ள S₃ தான் மீச்சிறு பரிமாறாக்குலம்.