Rotkriteriet

Rotkriteriet är en matematisk sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt $\{a_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ vara en talföljd. Då säger rotkriteriet att serien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}<1$

och att serien är divergent om

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}>1$.

Notera att satsen inte säger något om fallet

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}=1$.

Rotkriteriets betydelse för studiet av en potensseries $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$ konvergens inses genom att

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}x^{k}\right|^{\frac {1}{k}}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}^{\frac {1}{k}}x\right|$,

så potensseriens konvergens avgörs för alla $x$ där gränsvärdet ej är ett. Det går att visa att rotkriteriet är ett starkare resultat än kvotkriteriet.

Se även

• Konvergensradie