Momentmetoden

Momentmetoden är en metod för att skatta parametrarna till en statistisk fördelning.

Definition

Om en statistisk fördelning har $k$ parametrar, sätter man de $k$ första stickprovsmomenten lika med uttrycken för de $k$ första momenten uttryckta i de $k$ parametrarna.

Momentmetoden är den äldsta metoden för att skatta parametrar och Karl Pearson ligger bakom den (runt 1894).

Exempel

Vi har en stokastisk variabel $X$ som är normalfördelad med väntevärdet $\mu$ och variansen $\sigma ^{2}$. Då är fördelningens två första moment

$\operatorname {E} [X]=\mu$ och

$\operatorname {E} [X^{2}]=\mu ^{2} \sigma ^{2}$.

Om vi nu tar $n$ sampel och beräknar stickprovsmomenten:

$m_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ och

$m_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$.

Om man identifierar stickprovsmomenten med fördelningens moment får man

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\mu$ och

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\mu ^{2} \sigma ^{2}$.

Då fås skattningarna av parametrarna som:

${\hat {\mu }}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ och

${\hat {\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\hat {\mu }}^{2}$.

Väntevärdesskattningen ${\hat {\mu }}$ är väntevärdesriktig, medan variansskatningen ${\hat {\sigma ^{2}}}$ inte är det. Denna är dock konsistent, det vill säga, dess fel går mot noll när antalet sampel ökar.

Se även

• Maximum likelihood-metoden, som också används för att skatta parametrar

Referenser

Tryckta källor

• Lindgren, Bernard W. (1968). Statistical theory. New York: Macmillan 
• Hogg, Robert V.; Elliot A. Tanis (1993). Probability and statistical inference. New York: Macmillan. ISBN 0023558210