Kummersumma
Inom matematiken är en Kummersumma en viss slags kubisk Gaussumma för ett primtal p kongruent 1 modulo 3. De är uppkallade efter Ernst Kummer, som gjorde en förmodan om statistiska egenskaper av deras argument. Dessa summor var kända och användes före Kummer i teorin av cyklotomi.
Definition
[redigera | redigera wikitext]En Kummersumma är en ändlig summa av formen
tagen över r modulo p, där χ är en Dirichletkaraktär vars värden är kubrötter av 1, och där e(x) är exponentialfunktionen exp(2πix). Givet p i formen ovan finns det bara två sådana karaktärer tillsammans med den triviala karaktären.
Den kubiska exponentiella summan K(n,p) definierad som
kan lätt ses vara en linjär kombination av Kummersummor. Den är lika med 3P där P är en viss Gaussisk period för delgruppen av index 3 i resterna mod p under multiplikation.
Källor
[redigera | redigera wikitext]- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Kummer sum, 31 maj 2014.
- Branson, Mark, The solutions of X3 Y3 Z3=0 and Kummer's conjecture, arkiverad från ursprungsadressen den 2012-02-04, https://web.archive.org/web/20120204114618/http://www.math.sunysb.edu/~mbranson/papers/kummer.pdf, läst 31 maj 2014
- Bredikhin, B.M. (2001), ”Kummer hypothesis”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- Heath-Brown, D. R. (2000), ”Kummer's conjecture for cubic Gauss sums.” (
PDF), Israel J. Math. 120: part A, 97–124., https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:16c3966e-61cb-499d-839c-559b3794fcff/download_file?file_format=pdf&safe_filename=kummer.pdf&type_of_work=Journal article
- Heath-Brown, D.R.; Patterson, S.I. (1979), ”The distribution of Kummer sums at prime arguments”, J. Reine Angew. Math. 310: 111–130