Glatt funktion

En glatt funktion, eller slät funktion, är en funktion som kan deriveras oändligt många gånger. Varken den glatta funktion eller dess derivator har några "hörn", utan kan beskrivas som just släta. Mängden av alla glatta funktioner brukar betecknas C^∞.

Vissa menar att en funktion inte behöver vara oändligt deriverbar för att kallas glatt utan endast tillräckligt många gånger deriverbar för de aktuella syftena. Man kan då säga att funktionen är "tillräckligt glatt".

Funktioner kan också vara styckvis glatta. Ett enkelt exempel på detta är en vanlig fyrkantsvåg som är glatt överallt utom på just de värden där de "hoppar".

En komplex funktion som är differentierbar en gång på en öppen mängd är också både oändligt differentierbar (glatt) och analytisk på denna mängd.

Exempel

Alla polynom är oändligt deriverbara.
e^x är oändligt deriverbar.
sin x och cos x är oändligt deriverbara.

Differentierbarhetsklasser

Låt f vara definierad i en öppen mängd. Vi säger att f är av klass C^k om alla derivator till och med ordning k existerar och är kontinuerliga. En funktion är glatt, eller är av klass C^∞, om den har oändligt många derivator.

En funktion är analytisk, eller av klass C^ω, om den är glatt samt är lika med sin Taylorutveckling i varje punkt. Alla analytiska funktioner är alltså glatta, men en glatt funktion är inte nödvändigtvis analytisk. Exempel på funktioner som är glatta, men inte analytiska, är testfunktioner. Testfunktioner är glatta funktioner som är skilda från noll endast på ett kompakt område.

Exempel på funktioner av lägre differentierbarhetsklasser

Funktionen

f(x)=|x|\,

är en kontinuerlig funktion, men inte deriverbar i x=0. Därför är den klass C⁰.

Funktionen

f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2},&{\mbox{om }}x\geq 0\\-x^{2},&{\mbox{om }}x<0\end{matrix}}\right.

är deriverbar och dess derivata är kontinuerlig, men inte deriverbar. Därför ligger funktionen i C¹.

Funktionen

f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {(1/x)}&{\mbox{om }}x\neq 0,\\0&{\mbox{om }}x=0\end{cases}}

har derivatan

f'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos(1/x)}} 2x\sin {(1/x)}&{\mbox{om }}x\neq 0,\\0&{\mbox{om }}x=0.\end{cases}}

Derivatan i sin tur är inte kontinuerlig i noll eftersom cos(1/x) svänger när x närmar sig noll. Funktionen är alltså differentierbar, men då derivatan inte är kontinuerlig ligger den i C⁰.

Differentierbarhetsklasser i flera variabler

En funktion av flera variabler, f, från en öppen mängd sägs tillhöra klass C^k om alla partiella derivator av ordning k existerar och är kontinuerliga^[1]. Klasserna C^∞ och C^ω definieras som tidigare.

Testfunktion

En testfunktion (eng. bump function, ungefär vägbulefunktion) är en funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ i det euklidiska rummet som är både glatt och endast skild från noll i en kompakt mängd (man säger att den har kompakt stöd). Mängden av alla testfunktioner brukar betecknas $C_{0}^{\infty }$ eller $D$ .

Funktionen

f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{om }}|x|<1,\\0&{\mbox{annars }}\end{cases}}

är ett exempel på en testfunktion av en variabel.

Tillämpningar

Glatta mångfalder

Huvudartikel: Mångfald (matematik)

Mångfald är en yta i flera dimensioner. En mångfald är glatt om överföringsavbildningarna (de funktioner som beskriver hur man omvandlar mellan olika parametriseringar) är glatta.

Partition av enhet

Låt X₁, ..., X_k vara en öppen mängd i Rⁿ och låt Ф vara en testfunktion med stöd från unionen av X₁, ..., X_k. Då kan Ф skrivas som

\Phi =\sum _{j=1}^{k}\Phi _{j}

där Ф₁, ..., Ф_k är testfunktioner med stöd X₁, ..., X_k.^[2]

Ett vanligt förekommande fall av partition av enheten är då man vill dela upp en funktion, f, för att studera dess integral i mindre bitar. Man väljer Ф = 1, sedan multiplicerar man varje testfunktion Ф_j med funktionen f. Då blir

\int f\ dx=\sum _{j=1}^{k}\int f\cdot \Phi _{j}\ dx

Notera att produkten blir noll överallt utom på den "lilla bula" där Ф_j ≠ 0.

Referenser

^ Persson och Böiers, Analys i flera variabler, 3:e upplagan, 2005
^ Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, 2nd edition, 1990

Se även

[1] Persson och Böiers, Analys i flera variabler, 3:e upplagan, 2005

[2] Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, 2nd edition, 1990

[1]

[2]