Girards sats

Girards sats, eller Harriot-Girards sats, är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att ytan av en sfärisk triangel $\triangle ABC$ (blå i figur 1) med hörnvinklarna $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ på en enhetssfär är:

$|\triangle ABC|=\alpha \beta \gamma -\pi$

Inom sfärisk geometri ger satsen att för en sfärisk triangel på en sfär med radien $R$ är ytan:

$|\triangle ABC|=R^{2}\left(\alpha \beta \gamma -\pi \right)$

Ytan av en triangel på en sfär med given radie avgörs alltså endast och entydigt av hörnvinklarna och dess yta bestäms av hur mycket vinkelsumman överstiger 180°. Detta vinkelöverskott kallas sfäriskt överskott eller sfärisk excess (från engelskans Spherical excess) och betecknas ofta med $E$, sålunda:

$E=\alpha \beta \gamma -\pi$

Eftersom sfäriska polygoner låter sig uppdelas i sfäriska trianglar och polygonens vinkelsumma är lika med vinkelsumman av de ingående trianglarna gäller satsen i nedanstående något modifierade form även för en sfärisk polygon med $N$ hörn och hörnvinklarna $\alpha _{i}$:

$Arean=E=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}-\left(N-2\right)\pi$

där fallet med triangeln således motsvarar $N=3$ och $\left(N-2\right)\pi$ är vinkelsumman i en plan polygon med $N$ hörn.

Bevis

Figur 1. $\triangle ABC$ blå och de tre kolunära trianglana gula.

Figur 2. Den något skeva "badbollen" (vinklarna är inte 90°) visar hur varje halvsfär är uppbyggd av en triangel från vardera av de fyra paren som definieras av tre strorcirklar.

Trianglar

Nedan bevisas satsen för $\triangle ABC$ i figur 1 enligt Eulers metod.

Tre storcirklar delar in sfärens yta i åtta trianglar, vilka parvis har samma hörnvinklar, sidor och areor. I figur 1 är dessa par:

$\triangle ABC$ och $\triangle A'B'C'$ med hörnvinklarna $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$

$\triangle A'BC$ och $\triangle AB'C'$ med hörnvinklarna $\alpha$, $\pi -\beta$ och $\pi -\gamma$

$\triangle AB'C$ och $\triangle A'BC'$ med hörnvinklarna $\pi -\alpha$, $\beta$ och $\pi -\gamma$

$\triangle ABC'$ och $\triangle A'B'C$ med hörnvinklarna $\pi -\alpha$, $\pi -\beta$ och $\gamma$

I figur 2 har dessa par givits var sin färg och ur denna figur ser vi att varje halvsfär består av en triangel ur vardera paret. Eftersom enhetssfärens yta är $4\pi$ så är summan av areorna för de fyra trianglarna på en halvsfär $2\pi$ och vi väljer för beviset de fyra med ett gemensamt hörn i $A$, det vill säga:

$|\triangle ABC| |\triangle AB'C| |\triangle AB'C'| |\triangle ABC'|=2\pi$

Genom att lägga ihop två trianglar med en gemensam sida bildas en "biangel" som har ett hörn i vardera av två motstående poler och begränsas av två meridianer. Ytan av en sådan biangel är dubbla hörnvinkeln i endera polen, ty hela sfärens area är ju $4\pi$ och den andel som biangeln upptar är lika stor som den hörnvinkeln upptar av ett helt varv, det vill säga av $2\pi$. $\triangle ABC$ ingår i tre bianglar: vardera med en av de gulmarkerade trianglarna i figur 1, med "polvinklarna" $\alpha$, $\beta$ respektive $\gamma$, sålunda

$2\alpha =|\triangle ABC| |\triangle A'BC|\left(=|\triangle ABC| |\triangle AB'C'|\right)$

$2\beta =|\triangle ABC| |\triangle AB'C|$

$2\gamma =|\triangle ABC| |\triangle ABC'|$

Om vi summerar dessa tre areor (och utnyttjar likheten inom parentes i den första av dem) får vi:

$2\alpha 2\beta 2\gamma =|\triangle ABC| |\triangle AB'C'| |\triangle ABC| |\triangle AB'C| |\triangle ABC| |\triangle ABC'|$

Vi ser här att de fyra triangelareorna i vårt uttryck för halvsfärens area finns med så vi ersätter dessa fyra med $2\pi$ och får:

$2\alpha 2\beta 2\gamma =2\pi 2|\triangle ABC|$

Vilket förkortas med två och stuvas om till:

$|\triangle ABC|=\alpha \beta \gamma -\pi$

och beviset är därmed klart.

Polygoner

Figur 3. Polygonsidorna är storcirkelbågar, men har ritats som räta linjer.		Figur 4.

Betrakta polygonsidan ${\overline {AB}}$ i figur 3. Om vi lägger till triangeln $\triangle ABC$ till denna sida av den $N$-hörniga polygonen $P$, med arean $|P|$, vinkelsumman $\nu \alpha _{1} \beta _{1}$ och för vilken Girards formel gäller, får vi för vår nya polygon, med ett hörn mer, arean:

$|P| |\triangle ABC|=\nu \alpha _{1} \beta _{1}-(N-2)\pi \alpha _{2} \beta _{2} \gamma -\pi \Leftrightarrow$

$|P| |\triangle ABC|=\nu (\alpha _{1} \alpha _{2}) (\beta _{1} \beta _{2}) \gamma -((N 1)-2)\pi$

Och om formeln gäller för $P$, så gäller den för vår nya polygon med ett hörn mer. Så, eftersom den gäller för trianglar ($N=3$), så gäller den för $N=4,5,6...$.

Formeln gäller även för konkava polygoner (med någon eller flera innervinklar större än 180°). I figur 4 tas triangeln $\triangle ABC$ bort från $P$. Vi får för ytan för den nya polygonen med ett hörn mer:

$|P|-|\triangle ABC|=\nu \alpha _{1} \beta _{1}-(N-2)\pi -\left(\alpha _{2} \beta _{2} \gamma -\pi \right)\Leftrightarrow$

$|P|-|\triangle ABC|=\nu \alpha _{1} \beta _{1}-(N-2)\pi -\alpha _{2}-\beta _{2}-\gamma \pi \Leftrightarrow$

$|P|-|\triangle ABC|=\nu \alpha _{1} \beta _{1}-(N-2)\pi -\alpha _{2}-\beta _{2} 2\pi -\gamma -\pi \Leftrightarrow$

$|P|-|\triangle ABC|=\nu (\alpha _{1}-\alpha _{2}) (\beta _{1}-\beta _{2}) (2\pi -\gamma )-((N 1)-2)\pi$

"Bianglar"

I förbigående kan noteras att formeln även gäller för "bianglar" (med ett hörn i vardera av två motstående poler på sfären och begränsade av två meridianer mellan dessa):

$Arean=\alpha \alpha -0\cdot \pi =2\alpha$

För diskussion, se ovan under trianglar.

Historia

Satsen publicerades 1629 av den fransk/nederländske matematikern Albert Girard i Invention nouvelle En L'Algebre (inte i Trigonometrie 1626 som ofta påstås), men återfanns senare i opublicerade anteckningar från 1603 av den engelske matematikern Thomas Harriot. Ett bättre bevis publicerdes 1632 av Bonaventura Cavalieri i Directorium generale uranometricum in quo trigonomrtriae logarithmicae fundamenta och ett mycket enkelt bevis gavs 1781 i De mensura angulorum solidorum av Euler.