Cartesisk produkt

Den cartesiska eller kartesiska produkten eller mängdprodukten av två mängder $A$ och $B$ är mängden av alla ordnade par $(a,b)$ vars första element $a$ tillhör $A$ och vars andra element $b$ tillhör $B$ . Produkten av $A$ och $B$ skrivs A × B, så definitionen kan sammanfattas

A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}

.

Mängdprodukten kallas "cartesisk" efter Renatus Cartesius, den latinska översättningen av René Descartes. Descartes införde nämligen de så kallade kartesiska koordinaterna, som i sin tur har inspirerat den mängdteoretiska definitionen. Om P är en punkt i ett plan med ett koordinatsystem, så kan P entydigt beskrivas med hjälp av sin "x-koordinat" och sin "y-koordinat". Punkten kan alltså representeras av ett ordnat par (a,b) av reella tal, där a och b är x-koordinaten respektive y-koordinaten. Mot varje punkt i planet svarar precis ett sådant par, och tvärtom. Mängden av alla möjliga sådana par av kartesiska koordinater för punkter i planet är just det som nu för tiden kallas den cartesiska produkten R × R eller R².

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (M_i)_i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}

.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

\prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}

.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A², A × A × A skrivs också A³, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, $\mathbb {R} ^{2}$ eller R².

Exempel:

{1, 3, π} × {2, 17} = {(1, 2), (1, 17), (3, 2), (3, 17), (π, 2), (π, 17)}

Projektioner på koordinater

Man kan tolka den kartesiska "x-koordinaten" för en punkt P i planet som ett tal som beskriver den vinkelräta projektionen av punkten på x-axeln. Denna geometriska idé har generaliserats till allmänna cartesiska produkter. För en produkt över en indexmängd I och ett element i i I definierar man projektionen på den i:te koordinaten som funktionen

\pi _{i}:\prod _{i\in I}M_{i}\rightarrow M_{i}{\hbox{ given av }}\pi _{i}{\bigl (}(x_{i})_{i\in I}{\bigr )}=x_{i}

.

Denna projektion "plockar ut" den koordinat som hade indexet i. I exemplet ovan är π₂((3,17)) = 17. Projektioner betecknas också på många andra sätt än just med bokstaven π med index.

Det finns alltså en projektion för varje index, så att man för en cartesisk produkt över en indexmängd I får en hel familj (π_i)_i∈I av projektioner, över samma indexmängd.

Tolkning som direkta produkter

Den cartesiska produkten Π_I M_i av en familj (M_i)_I = (M_i)_i∈I av mängder har tillsammans med motsvarande familj (π_i)_I = (π_i)_i∈I en viss abstrakt kategoriteoretisk universell egenskap, som beskrivs nedan, i kategorin av mängder. Objekt och familjer av morfismer med denna egenskap kallas på kategoriteoretiskt språk för direkta produkter. Därför är cartesiska produkter direkta produkter i kategorin av mängder (med vanliga mängdteoretiska funktioner som morfismer).

Mängden Π_I M_i och funktionsfamiljen (π_i)_I har följande universella egenskap: För varje mängd N och familj (f_i)_I av funktioner, där f_i går från N till M_i för varje index i, så finns en och endast en funktion g:N→Π_I M_i, sådan att det för varje index i gäller att π_i = f_iog. Det visar sig att detta unika g ges av att

g(x)={\bigl (}f_{i}(x){\bigr )}_{i\in I}{\hbox{ för varje }}x\in N

.

I många konkreta kategorier bildas direkta produkter som cartesiska produkter som "ärver" sina strukturer från faktorerna, och projektionerna är desamma som för vanliga mängdprodukter. Om till exempel V och W är två linjära rum, så kan den direkta produkten av dem beskrivas som den kartesiska produkten V &times:&W med komponentvisa operationer, vilket betyder att

(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ) (\mathbf {v'} ,\mathbf {w'} )=(\mathbf {v}  \mathbf {v'} ,\mathbf {w}  \mathbf {w'} ){\hbox{ och }}a(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(a\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )

,

för alla vektorer v och v'' i V, w och w' i W, och skalärer a.

Cartesisk produkt av funktioner

Om f är en funktion från A till B och g är en funktion från X till Y, så definieras deras cartesiska produkt f×g som den funktion från A×X till B×Y som uppfyller

(f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))

Precis som för mängder kan detta utvidgas till godtyckliga familjer av funktioner.

Se även

Externa länkar

Cartesian Product at ProvenMath (på engelska)
En bra förklaring