ЕПР парадокс

ЕПР парадокс је мисаони експеримент из области квантне механике којим се стављају на пробу дубоко укорењене идеје које се тичу везе између опажених вредности физичких величина и вредности које су прорачунате на основу физичке теорије. Скраћеница „ЕПР“ представља почетна слова презимена научника Алберта Ајнштајна (Алберт Еинстеин ), Бориса Подолског (Борис Подолскy ) и Натана Розена (Натхан Росен), који су заједно осмислили овај мисаони експеримент и представили га у своме раду из 1935. године, у којем износе аргументе у прилог тезе да квантна механика није комплетна физичка теорија. Овај мисаони експеримент понекад се означава и као ЕПРБ парадокс због Дејвида Бома (Давид Бохм), који је изменио његову оригиналну варијанту у нешто што је лакше експериментално проверити. ЕПР експеримент доноси са собом дихотомију која се састоји у следећем:

Или

1. Резултати мерења извршеног у једном делу А квантног система имају не-локални утицај на други удаљени део Б, у смислу да квантна механика може да предвиди исходе неких мерења који треба да буду извршени у Б,

или

1. Квантна механика је непотпуна теорија у смислу да неки елементи физичке стварности који одговарају делу Б не могу да буду прорачунати на основу квантне механике (што значи, неке додатне променљиве су потребне за такве прорачуне)

Мада је провобитно настао као мисаони експеримент који треба да дочара непотпуност квантне механике, важећи експериментални резултати побијају принцип локалности, обезвређујући тако изворне намере ЕПР трија. „Сабласно дејство на даљину“ које је толико узнемиравало ауторе ЕПР-а доследно се појављује у нашироко и много пута поновљеним експериментима . Ајнштајн није никада заиста прихватио квантну механику као „реалну“ и потпуну теорију, борећи се до краја свог живота за тумачење које ће се повиновати његовој релативности, без имплицирања да се „Бог игра коцком“, којим је сублимирано све његово незадовљство са квантно механичком суштинском насумичности (која тек треба да се разреши) и са њеном контра-инутитивности.

ЕПР парадокс је парадокс у следећем смислу: ако се узме у обзир квантна механика и томе се додају, како се чини, разумни услови који би се могли описати као локалност, реализам, одређеност и потпуност, тада се долази до контрадикције. Ипак, квантна механика се сама по себи не чини унутрашње неконзистентном теоријом, нити, како се показало, она доводи у питање релативност. Као резултат даљег теоријског и експерименталног развоја, након појаве ЕПР чланка, многи физичари данашњице гледају на ЕПР парадокс као илустрацију тога како квантна механика угрожава нашу класичну интуицију, а не као индикацију тога да она има у себи неке фундаменталне пукотине.

Опис парадокса

ЕПР парадокс изведен је из појаве предвиђене квантном механиком, познате као квантна сплетеност (qуантум ентанглемент), која показује да мерења извршена у просторно одвојеним деловима квантног система могу очигледно да имају тренутан утицај једно на друго. Овај ефекат је познат као нелокално понашање (или у обичном говору као “квантна чудноватост”). У намери да ово илуструјемо, размотримо упрошћену верзију ЕПР мисаоног експеримента која потиче од Бома.

Мерења у заплетеном стању

Нека имамо један извор који емитује парове електрона, од којих је један електрон увек послат ка одредишту “А”, где се налази посматрач по имену Алис, док је други послат ка одредишту “Б”, где се налази посматрач по имену Боб. Према квантној механици, ми можемо да припремимо наш извор тако да сваки емитовани електронски пар заузима квантно стање које се назива спински синглет. То се може описати као квантна суперпозиција два стања, која ћемо назвати стање I и стање II. У стању I, електрон “А” има спин усмерен нагоре уздуж “з” осе (“ з”), а електрон “Б” има спин који је усмерен надоле уздуж “з” осе (“-з”). У стању II, електрон “А” има спин “-з”, а електрон “Б” има спин “ з”. Према томе, немогуће је повезати било који електрон из спинског синглета са стањем одређеног спина. Електрони су зато, како се каже, квантно заплетени.

Алис сада мери спин уздуж “з” осе. Као резултат мерења она може да добије два могућа исхода “ з” и “-з”. Претпоставимо да је она добила “ з”. Према квантној механици, квантно стање система тада доживљава колапс и прелази у стање I. (Различите интерпретације квантне механике изразиле би ово на различите начине, али базични резултат је исти). Квантим стањем одређене су вероватноће могућих исхода за свако мерење учињено над системом. У овоме случају, ако Боб затим измери спин уздуж “з” осе, он ће добити исход “-з” са вероватноћом од 100%. Слично томе, ако Алис добије “-з”, Боб добија “ з” са 100% вероватноће.

Нема, наравно, ничег посебног у томе што смо изабрали “з” осу. На пример, претпоставимо да су Алис и Боб одлучили да мере спин у правцу “x” осе. Према квантној механици, стање спинског синглета може се једнако добро представити као суперпозиција спинских стања усмерених и у правцу “x” осе. Ово ћемо сада назвати стање Иа и стање ИИа. У стању Иа Алисин електрон има спин “ x”, а Бобов електрон има спин “-x”. Према томе, ако Алис мери “ x”, систем колабрира у стање Иа, и Боб тада мери “-x”. I обрнуто, ако Алис мери “-x”, систем колабрира у стање ИИа, и Боб ће измерити “ x”.

У квантној механици, “x” спин и “з” спин су “некомпатибилне опсервабле”, што значи да са њима треба оперисати на основу Хајзенберговог принципа неодређености, који каже да квантно стање не може поседовати тачно одређену вредност за обе ове промењиве. Претпоставимо да Алис мери “з” спин и као резултат добије “ з”, тако да квантно стање колабрира у стање I. Према квантној механици, када је систем у стању I, Бобово мерење “x” спина има подједнаку вероватноћу од 50% да његов исход буде било која од две могућности, “ x” или “-x”. Штавише, фундаментално је немогуће предвидети који исход ће се појавити док Боб фактички не изврши своје мерење.

Овде се, дакле, поставља питање, како је то могуће да Бобов електрон "зна", у исто време, у којем смеру треба да усмери свој спин, ако Алис одлучи (на основу информације недоступне самом Бобу) да мери x и, такође, како да се усмери ако Алис измери з? Ако употребимо уобичајено Копенхагенско тумачење које каже да таласна функција квантног стања у тренутку мерења тренутно доживљава “колапс”, тада би морало да постоји неко дејство на даљину, или би један од електрона морао да „зна“ више него што је то претпостављено.

Ако би начинили измешани, делом класични и делом квантни, опис овог експеримента, могли би да кажемо да су бележнице у које су уписивани резултати експеримената (као и сами експериментатори) међусобно заплетене и да су у њима записане линеарне комбинације плусева ( ) и минуса (-), као у „Шредингеровој мачки“.

У овом опису изабран је као пример спин сасвим произвољно, јер још многе друге врсте физичких величина, које квантна механика назива “опсерваблама”, могу послужити да се помоћу њих произведе квантна заплетеност. Оригинални ЕПР чланак искористио је, на пример, импулс као опсерваблу, а експериментална реализација ЕПР сценарија обично користи за то поларизацију фотона, јер је поларизација фотона лака за припремање као и за мерење.

Реалност и потпуност

Сада ћемо навести два концепта која су употребили Ајнштајн, Подолски и Розен, који су од круцијалног значаја за овај њихов напад на квантну механику а то су: (1) “елементи физичке реалности (стварности)” и (2) “потпуност физичке теорије”.

Аутори се не осврћу директно на филозофски смисао свога концепта “елемента физичке реалности”. Они, уместо тога, само чине претпоставку да “ако” вредност ма које физичке величине у систему може да се унапред предвиди са апсолутном сигурношћу пре него што се изврши њено мерење или се на други начин поремети, тада ова величина одговара једном елементу физичке реалности. Треба приметити да се обрнут случај не може прихватити као тачан; могли би постојати и други начини за постојање елемената физичке реалности, али то нимало не угрожава овај аргумент.

Даље, ЕПР дефинишу “ потпуну физичку теорију ” као ону у којој се сваки елемент физичке реалности може прорачунати. Циљ њиховог рада је да се покаже, коришћењем ове две дефиниције, да квантна механика није потпуна физичка теорија.

Да видимо сада како се ови концепти примењују на претходно описани мисаони експеримент. Претпоставимо да Алис одлучи да измери вредност спина уздуж “з” осе (можемо га звати “з” спин). Пошто Алис изврши њено мерење, “з” спин Бобовог електрона је дефинитивно познат, тако да је он један елеменат физичке реалности. Слично томе, ако Алис одлучи да мери спин уздуж “x” осе, “x” спин Бобовог електрона је тада један елеменат физичке реалности одмах након њеног мерења.

Ми смо видели да квантно стање не може истовремено поседовати тачно одређене вредности и за “x” спин и за “з” спин. Ако је квантна механика потпуна физичка теорија у горе описаном смислу, “x” спин и “з” спин не могу бити елементи физичке реалности у исто време. То значи да Алисина одлука да ли да изврши њено мерење уздуж “x” или уздуж “з” осе има тренутни утицај на елементе физичке реалности на просторно удаљеном месту где се налази Боб. Ово, међутим, угрожава други принцип који се назива принцип “локалности”.

Локалност у ЕПР експерименту

Принцип локалности тврди да физички процеси који се дешавају на једном месту не могу да имају тренутан утицај на елементе физичке реалности на другом месту. На први поглед, ово се чини разумном претпоставком, осим што је то и последица специјалне релативности, која тврди да информација не може да се простире брже од брзине светлости, а да се тиме не угрози каузалност. Уопштено гледано, верује се да било која теорија која угрожава каузалност треба да буде унутрашње неконзистентна, и према томе дубоко незадовољавајућа.

Произилази тако да уобичајена правила по којима се комбинују квантна механика и класични опис угрожавају принцип локалности без угрожавања каузалности. Каузалност је очувана зато што нема начина да Алис пренесе поруку (информацију) Бобу о манипулацијама њеном осом мерења. Ма коју осу да она користи, она има 50% вероватноће да добије " " и 50% вероватноће да добије "-", и то потпуно насумично, јер према квантној механици за њу је фундаментално немогуће да утиче на резултате које добија мерењем. Даље, Боб је једино у стању да учини своје мерење једанпут, јер постоји фундаментално својство квантне механике, познато као “теорема о неклонирању”, која га онемогућава да учини милион копија електрона које он прима, вршећи мерење спина на сваком од њих, и посматрајући статистичку дистрибуцију резултата мерења. Према томе, у једном једином мерењу које му је на располагању, постоји једнака вероватноћа од 50% да ће добити “ ” или “-“, без обзира да ли је његова оса мерења поравната са Алисином или не.

Ипак, пошто је принцип локалности дубоко укорењен у нашу физичку интуицију, Ајнштајн, Подолски и Розен нису били вољни да га одбаце. Ајнштајн се чак наругао квантно механичким предвиђањима називајући их “аветињским дејством на даљину”. Закључак који су они извели је да квантна механика није потпуна физичка теорија.

Последњих година, међутим, бачена је сумња на овај њихов закључак с обзиром на учињени напредак у разумевању принципа локалности и посебно квантне некохерентности. Реч локалност има у физици неколико различитих значења. На пример, у квантној теорији поља локалност значи да кванти поља у различитим тачкама простора не интерагују једни са другима. Ипак, квантна теорија поља, која је “локална” у овом смислу, “чини се” да угрожава принцип локалности како је дефинисан ЕПР парадоксом, али она осим тога не угрожава локалност у једном општијем смислу. Колапс таласне функције може бити схваћен као подфеномен квантне декохеренције, која, показује се, није ништа друго него ефекат у чијој је позадини локална временска еволуција таласне функције система и целог његовог окружења. Пошто понашање које је у позадини овога не угрожава локалну каузалност, следи да то исто не чине ни пратећи ефекти колапса таласне функције, без обзира да ли су стварни или привидни.

Решења парадокса

Скривене променљиве

До сада је понуђено неколико различитих решења ЕПР парадокса. Једно од њих, које потиче од самих аутора ЕПР-а, сугерише да је квантна механика, упркос њеној успешности у разноликом мноштву експерименталних сценарија, у ствари непотпуна теорија. Другим речима, постоји нека још неоткривена теорија природе у поређењу са којом квантна механика делује као нека врста статистичке апроксимације (мада изузетно успешне апроксимације). За разлику од квантне механике, ова непозната, много комплетнија, теорија требало би да садржи променљиве које одговарају свим “елементима реалности”. Мора да постоји неки непознати механизам који делујући на те променљиве изазива ефекте “некомутативних опсервабли” (ефекте Хајзенберговог принципа неодређености). Таква једна теорија добила је и назив теорија скривених променљивих.

Као илустрацију ове идеје, могли бисмо да формулишемо једну веома једноставну теорију скривених променљивих за горе-описани мисаони експеримент. Може се претпоставити да је квантно стање спинског синглета, које је емитовао извор, приближни опис “стварног” физичког стања које поседује тачно одређене вредности за “з” спин и “x” спин. У том “стварном” стању, електрон који иде ка Бобу увек има вредности спина супротне од електрона који се креће ка Алис, али ове вредности су иначе потпуно насумичне. На пример, први пар који емитује извор могао би да буде ( з, -x) ка Алис и (-з, x) ка Бобу, следећи пар (-з, -x) ка Алис и ( з, x) ка Бобу, и тако даље. Према томе, ако је Бобова оса мерења поравната са Алисином, он ће нужно добијати супротно од онога што добија Алис, односно, он ће добијати “ ” и “-“ са једнаком вероватноћом.

Под условом да смо ограничили наша мерења само на “з” и “x” осу, оваква теорија скривених променљивих експериментално се не би могла разликовати од квантне механике. У стварности, наравно, има бесконачно много оса дуж којих Алис и Боб могу да изврше своја мерења, тако да треба да буде и бесконачно много независних скривених променљивих! Ипак, ово није озбиљан проблем, пошто смо ми формулисали веома упрошћену верзију теорије скривених променљивих, а једна много савршенија теорија требало би да буде у стању да све то исправи. Показало се у ствари да пред теоријом скривених променљивих стоје много озбиљнији изазови од овог.

Белове неједнакости

У 1964. години, Џон Стјуарт Бел (Јохн Стеwарт Белл) показао је да су квантно-механичка предвиђања из ЕПР мисаоног експеримента сасвим мало различита од предвиђања једне широке класе теорија скривених промељивих. Говорећи у оштрим цртама, може се рећи да квантна механика предвиђа много јаче статистичке корелације имеђу резултата мерења извршених дуж различитих оса, него што то чине теорије скривених променљивих. Ове разлике, изражене релацијама неједнакости познатим као “Белове неједнакости”, у принципу су и експериментално проверљиве.

Након објављивања Беловог рада, мноштво експеримената је развијено са циљем да се тестирају Белове неједнакости (Као што је горепоменуто, ови експерименти су у већини засновани на мерењу поларизације фотона). Сви ови, до данас изведени, експерименти били су у сагласју са предвиђањима стандардне квантне механике. Ипак, записник на ову тему није још увек у потпуности затворен. Пре свега, Белова теорема није примењива на све могуће “реалистичке” теорије. Могуће је конструисати такве теорије које измичу њеним импликацијама, које су према томе идентичне са квантном механиком, што значи да су генерално нелокалне, чиме се поново враћа сумња да оне крше каузалност као и правила специјалне релативности. Неки истраживачи на овом пољу покушали су такође да формулишу и локалне теорије скривених променљивих које експлоатишу рупе (недостатке, празна места) у изведеним експериментима, пре свега оне које се могу пронаћи у интерпретацији експерименталних података. Ипак, никада нико није био у стању да формулише локалну реалистичку теорију која би могла да репродукује све резултате квантне механике. Постоје такође појединачни експерименти слични ЕПР-у који немају објашњења на бази скривених променљивих. Примери тога били су предложени од стране Дејвида Бома и Луцијана Хардија (Давид Бохм и Луциен Хардy).

Последице по квантну механику

Већина физичара данас верује да је квантна механика исправна, те да је ЕПР парадокс само због тога парадокс што наша класична интуиција не одговара потпуно физичкој реалности. Како ће ЕПР бити интерпретиран у погледу локалности зависи од тога коју ћемо интерпретацију квантне механике употребити. У Копенхагенској интерпретацији, узето је да се тренутни колапс таласне функције заиста дешава. Међутим, гледиште да не постоји тренутни “каузални” ефекат такође је предложено у Копенхагену. У овом алтернативном гледишту, мерење утиче на нашу способност да дефинишемо (и измеримо) величине у физичком систему, али не и на систем по себи. У “Много светова” интерпретацији, нека врста локалности је очувана, пошто ефекти иреверзибилних операција као што је мерење, израстају из релативизације глобалног стања на субсистем какав је систем посматрача.

ЕПР парадокс је утицао на наше разумевање квантне механике тако што је указао на фундаменталне некласичне карактеристике процеса мерења (квантног мерења). Пре објављивања ЕПР рада, квантно мерење је често описивано као физичка пертурбација (поремећај) који директно утиче на сам мерени систем. На пример, када меримо положај неког електрона, претпоставља се да треба да усмеримо светлост на њега, али фотони светлости тада уносе поремећај (мењају брзину електрона) који повећава неодређеност његове брзине. Овакво објашњење, које је још увек заступљено у популарним представљањима квантне механике, ЕПР парадокс је у потпуности разголитио, јер је он показао да је могуће извршити “мерење” над неком честицом тако да је не пореметимо директно, јер смо то учинили мерењем друге, удаљене, честице која је са првом квантно заплетена.

Треба истаћи да се развијају и технологије које се ослањају на феномен квантне заплетености. У квантној криптографији, заплетене честице се користе за пренос сигнала који се не могу прислушкивати а да им се не изгуби траг. У квантном рачунарству, заплетена квантна стања се користе у сврху извођења паралелног рачунања, које се изводи много брже него што би се икада могло учинити са класичним рачунарима.

Класични прилаз

Са тачке гледишта директне или “много светова” интерпретације, да су класична физика и свакидашњи говор само апроксимација квантне механике, разумљиво је да инсистирање на примени таквих апроксимација све време доводи до чудних резултата. На пример, неко би могао да очекује да ће коришћењем геометријске оптике бити у стању да опише сва оптичка својства телескопа, пошто је он велики у поређењу са таласном дужином светлости. Ипак телескопи су конструисани да мере и тако мале углове при којима таласни ефекти светлости више нису безначајни. Слично томе, када су аутори ЕПР-а осмислили њихов експеримент са намером да он буде осетљив на префињености квантне механике они су га учинили осетљивим једино на начин како је наша класична апроксимација примењена.

Математичка формулација

Горња дискусија може се изразити и математички коришћењем квантно механичке формулације спина. Спински степени слободе за један електрон доводе се у везу са дводимензионалним Хилбертовим простором, у којем сваком квантном стању одговара један вектор у том простору. Оператори који одговарају спину у правцу “x”, “y” и “з” осе, означени респективно са С_x, С_y, и С_з, и могу се представити коришћењем Паулијевих матрица.

$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

где $\hbar$ представља Планкову константу подељену са 2π.

Својствена стања од С_з представљена су као

$\left| z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \left|-z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

а својствена стања од С_x представљена су са

$\left| x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},\quad \left|-x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$

Хилбертов простор електронског пара је $H\otimes H$, односно тензорски производ два електронска Хилбертова простора. Спинско синглетно стање је

$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left| z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle -\left|-z\right\rangle \otimes \left| z\right\rangle {\bigg )}$

Где су два члана са десне стране оно што смо описали као стање I и стање II у горњем тексту. Из горњих једначина, може се показати да спински синглет такође може да буде записан као

$\left|\psi \right\rangle ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left| x\right\rangle \otimes \left|-x\right\rangle -\left|-x\right\rangle \otimes \left| x\right\rangle {\bigg )}$

где чланови са десна одређују оно што смо раније назвали стањем Иа и ИИа.

Да би илустровали како ово доводи до нарушења локалног реализма, морамо да покажемо да после Алисиног мерења С_з (или С_x), Бобова вредност од С_з (или С_x) је једнозначно одређена, и према томе припада једном елементу физичке стварности (реалности). Ово следи из принципа мерења квантне механике. Када је С_з измерено, стање система ψ тада доживљава колапс у својствени вектор С_з. Ако је мерни резултат “ з”, то значи да непосредно након мерења стање система подлеже ортогоналној пројекцији од ψ на простор стања у форми

$\left| z\right\rangle \otimes \left|\phi \right\rangle \quad \phi \in H$

За спински синглет ново стање је

$\left| z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle .$

Слично томе, ако је Алисин мерни резултат “-з”, систем подлеже ортогоналној пројекцији на

$\left|-z\right\rangle \otimes \left|\phi \right\rangle \quad \phi \in H$

Што значи да је ново стање

$\left|-z\right\rangle \otimes \left| z\right\rangle$

Ово имплицира да је мерење С_з за Бобов електрон сада одређено. То ће бити “-з” у првом случају или “ з” у другом случају.

Остаје још само да се покаже да С_x и С_з не могу у квантној механици истовремено поседовати одређене вредности. Могло би де показати у сличном маниру да ниједан могући вектор не може да буде својствени вектор за обе матрице. Општије гледано, могла би се користити и чињеница да ови оператори не комутирају:

$\left[S_{x},S_{z}\right]=-i\hbar S_{y}\neq 0$

Што иде заједно уз Хајзенбергове релације неодређености

$\langle (\Delta S_{x})^{2}\rangle \langle (\Delta S_{z})^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}\left|\langle \left[S_{x},S_{z}\right]\rangle \right|^{2}$

Референце

Изабрани радови

• А. Аспецт, Белл'с инеqуалитy тест: море идеал тхан евер, Натуре 398 189 (1999). [1]
• Ј.С. Белл, Он тхе Еинстеин-Полдолскy-Росен парадоx, Пхyсицс 1 195 (1964).
• Ј.С. Белл, Бертлманн'с Соцкс анд тхе Натуре оф Реалитy. Јоурнал де Пхyсиqуе 42 (1981).
• Н. Бохр, Цан qуантум-мецханицал десцриптион оф пхyсицал реалитy бе цонсидеред цомплете?, Пхyс. Рев. 48, 696 (1935) [2]
• П.Х. Еберхард, Белл'с тхеорем wитхоут хидден вариаблес. Нуово Цименто 38Б1 75 (1977).
• П.Х. Еберхард, Белл'с тхеорем анд тхе дифферент цонцептс оф лоцалитy. Нуово Цименто 46Б 392 (1978).
• А. Еинстеин, Б. Подолскy, анд Н. Росен, Цан qуантум-мецханицал десцриптион оф пхyсицал реалитy бе цонсидеред цомплете? Пхyс. Рев. 47 777 (1935). [3] Архивирано на сајту Wayback Machine (8. фебруар 2006)

• А. Фине, Хидден Вариаблес, Јоинт Пробабилитy, анд тхе Белл Инеqуалитиес. Пхyс. Рев. Летт. 48, 291 (1982).[4]
• А. Фине, До Цоррелатионс неед то бе еxплаинед?, ин Пхилосопхицал Цонсеqуенцес оф Qуантум Тхеорy: Рефлецтионс он Белл'с Тхеорем, едитед бy Цусхинг & МцМуллин (Университy оф Нотре Даме Пресс, 1986).
• L. Хардy, Нонлоцалитy фор тwо партицлес wитхоут инеqуалитиес фор алмост алл ентанглед статес. Пхyс. Рев. Летт. 71 1665 (1993).[5]
• M. Мизуки, А цлассицал интерпретатион оф Белл'с инеqуалитy. Анналес де ла Фондатион Лоуис де Броглие 26 683 (2001).
• Роwе, M. А.; Киелпински, D.; Меyер, V.; Сацкетт, C. А.; Итано, W. M.; Монрое, C.; Wинеланд, D. Ј. (2001). „Еxпериментал виолатион оф а Белл'с инеqуалитy wитх еффициент детецтион”. Натуре. 409 (6822): 791—794. ПМИД 11236986. С2ЦИД 205014115. дои:10.1038/35057215. хдл:2027.42/62731. 
• Смерлак, Маттео; Ровелли, Царло (2007). „Релатионал ЕПР”. Фоундатионс оф Пхyсицс. 37 (3): 427—445. Бибцоде:2007ФоПх...37..427С. С2ЦИД 11816650. арXив:qуант-пх/0604064 . дои:10.1007/с10701-007-9105-0. 

Књиге

• Ј.С. Белл (1987). Спеакабле анд Унспеакабле ин Qуантум Мецханицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-36869-8. 
• Ј.Ј. Сакураи (1994). Модерн Qуантум Мецханицс. Аддисон-Wеслеy. стр. 174-187,223-232. ИСБН 978-0-201-53929-5. 
• Ф. Селлери (1988). Qуантум Мецханицс Версус Лоцал Реалисм: Тхе Еинстеин-Подолскy-Росен Парадоx. Неw Yорк: Пленум Пресс. ИСБН 978-0-306-42739-8. 
• Рогер Пенросе, Тхе Роад то Реалитy (Алфред А. Кнопф, 2005; Винтаге Боокс, 2006 )

Спољашње везе

• Тхе оригинал ЕПР папер Архивирано на сајту Wayback Machine (8. фебруар 2006)
• A. Fine, The Einstein-Podolsky-Rosen Argument in Quantum Theory
• Abner Shimony, Bell’s Theorem (2004)
• EPR, Bell & Aspect: The Original References
• Does Bell's Inequality Principle rule out local theories of quantum mechanics? From the Usenet Physics FAQ.
• Effective use of EPR in cryptography