Problemi i ditëlindjes

Rritja e probabiliteti të problemit të ditëlindjes në raport me rritjen e numrit të personave.

Në teorinë e probabilitetit, problemi i ditëlindjes kërkon vlërën e probabilitetit ashtu që në një grup prej n personash të zgjedhur rastësisht, së paku 2 persona kanë ditëlindjen (ditën e lindjes, jo vitin) e njejtë. Ky problem njihet edhe si paradoksi i ditëlindjes për arsye se në një grup prej 23 personash probabiliteti që së paku 2 prej tyre kanë ditëlindje të njejtë është më i madh se 50%, që është shumë kundërintuitive.

Paradoksi i ditëlindjes në shikim të parë duket si i gabuar, por në fakt është i saktë. Mund të duket i habitshëm fakti që vetëm 23 persona nevojiten që probabiliteti të kaloj 50% kur një vit ka 365 (ose 366) ditë. Ky rezultat mund të bëhet më intuitiv duke vërejtur se krahasimet e ditëlindjeve do të bëhen midis çdo dysheje të mundëshme të individëve. Me 23 persona, janë ${\textstyle {\frac {23\times 22}{2}}=253}$ dyshe për ti konsideruar, që është më e madhe se gjysma e ditëve në një vit(182 ose 183).

Problemi i atributohet Harold Davenport-it rreth vitit 1927, por ai nuk e publikoi atë. Davenport nuk e pranoi të quhet zbuluesi i problemit “sepse ai nuk mund të besonte që ky problem nuk është paraqitur më parë". Publikimi i parë i një versioni të problemit të ditëlindjes ishte nga Richard von Mises në vitin 1939.

Llogaritja e probabilitetit

Grafi tregon probabilitetin që nga grupi prej n personash së paku 2 kanë ditëlindjen e njejtë (kuqe) dhe probabilitetin e kundërt që nga grupi prej n personash asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë (kaltër),

Problemi është të gjejmë probabilitetin që nga një grup prej n personash së paku 2 kanë ditën e lindjes së njejtë. Për thjeshtësi vitet e brishta dhe binjakët nuk do të merren parasyshë si dhe supozohet se të gjitha 365 ditëlindjet kanë gjasë të ndodhjes të njejtë, që është rasti më i keq.

Qëllimi është të llogarisim probabilitetin P(A), probabiliteti që së paku dy persona në grup kanë ditëlindjen (ditën e lindjes) e njejtë. Megjithatë më lehtë është të llogaritet probabiliteti i kundërt P(A′), probabiliteti që asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë. Meqë A dhe A′ janë probabilitete të kundërta, P(A) = 1 − P(A′).

Ta llogarisim P(A) për 23 persona. Po i numërojmë 23 personat me numra nga 1 deri 23. Po e shënojmë me ngjarja 1 ngjarjen që personi 1 ka ditëlindje, me ngjarja 2 ngjarjen që personi 2 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 1, me ngjarja 3 ngjarjen që personi 3 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 2 dhe personin 1, e kështu me rradhë. Ngjarja që 23 personat të kenë ditëlindje të ndryshme është e njejtë me ngjarjen kur ngarja 1, ngjarja 2, ngjarja 3, e kështu me rradhë deri te ngjarja 23, ndodhin njëkohësisht. Ky probabilitet llogaritet me ndihmën e probabilitetit të kushtëzuar. Probabiliteti i ngjarjes 1 është ${\textstyle {\frac {365}{365}}=1}$, probabiliteti i ngjarjes 2 pas ndodhjes së ngjarjes 1 është ${\textstyle {\frac {364}{365}}}$ për arsye se personi 2 mund të ketë çfardo ditëlindje tjetër përveq ditës së njejtë si personi 1. Ngjashëm probabiliteti i ngjarjes 3 pas ndodhjes së ngjarjeve 1 dhe 2 është ${\textstyle {\frac {363}{365}}}$ e kështu me rradhë deri te ngjarja 23 e cila ka probabilitet ${\textstyle {\frac {365-22}{365}}={\frac {343}{365}}}$. Tani, probabiliteti P(A′) është i barabart me prodhimin e probabiliteteve të gjitha ngjarjeve 1 deri 23, një nga një, pra:$$P(A')={\frac {365}{365}}\times {\frac {364}{365}}\times {\frac {363}{365}}\times {\frac {362}{365}}\times \cdots \times {\frac {343}{365}},$$pasi të grumbullohen termat në shprehjen e mësipërme marrim:

${\begin{aligned}P(A')&=\left({\frac {1}{365}}\right)^{23}\times (365\times 364\times 363\times \cdots \times 343)=\\[4pt]&={\frac {356!}{365^{23}(365-23)!}}.\end{aligned}}$

Pas njehësimit marrim: $P(A')\approx 0.49270276.$

Përfundimisht, $P(A)=1-P(A')\approx 1-0.49270276=0.50729724$ (50.729724%).

Ky proces mund të gjeneralizohet për një grup prej n personash, ku p(n) është probabiliteti që së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë. Njësoj si më herët është më leht të gjindet probabiliteti i kundërt p(n), probabiliteti që të gjitha n ditëlindjet janë të ndryshme. Sipas parimit të kafazëve të pëllumbave probabiliteti p(n) është zero kur n > 365. Për n ≤ 365 kemi:$${\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\times \cdots \times \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)=\\[8pt]&={\frac {365\times 364\times \cdots \times (365-n 1)}{365^{n}}}=\\[5pt]&={\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}}.\end{aligned}}$$

Probabiliteti që asnjë person nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personat tjetrë në një grup në raport me numrin e personave në atë grup.

Shprehja e mësipërme arrihet nga fakti se personi i parë mund ta ketë çfardo ditëlindje, personi i dytë mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditës së njejtë me ditëlindjen e personit të parë, personi i tretë mund ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen personi i parë dhe i dytë, e kështu me rradhë deri te personi i n-të i cili mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen n − 1 personat para tij.

Nga probabiliteti i kundërt p(n), gjejmë probabilitetin p(n),$$p(n)=1-{\bar {p}}(n).$$Pra:$$p(n)=1-{\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}}.$$Tabela në vijim tregon probabilitetin p(n) për disa vlera të n-it (për këtë tabelë injorohet ekzistenca e viteve të brishta, dhe çdo ditëlindje supozohet të ketë gjasë të ndodhjes të njejtë):

n	p(n)
1	0%
5	2.71356%
10	11.69482%
20	41.14384%
23	50.72972%
30	70.63162%
40	89.12318%
50	97.03736%
60	99.41227%
70	99.91596%
80	99.99143%
90	99.9993848%
100	99.999969275107%
200	99.9999999999999999999999999998389874%
300	(100 − 6×10−80)%
365	(100 − 1.45×10−155)%
≥ 366	100%

Vitet e brishta. Nëse zëvendësojmë 366 në vend të 365 në formulën për p(n) atëherë mund të llogaritet probabiliteti i problemit të ditëlindjes edhe për vitet e brishta.

Nëse shënojmë me p'(n) këtë probabilitet do të kemi:$$p'(n)=1-{\frac {366!}{366^{n}(366-n)!}}.$$Pas një kalkulimi tregohet se edhe te vitet e brishta njësoj si vitet normale, numri i personave që nevojiten ashtu që probabiliteti të kaloj 50% është 23.

Përafrime

Zgjerimi i funksionit eksponencial me anë të serive të Taylorit (Numri e ≈ 2.718281828)$$e^{x}=1 x {\frac {x^{2}}{2!}} {\frac {x^{3}}{3!}} \cdots$$ofron një përafrim të rendit të parë për e^x kur ${\textstyle |x|\ll 1}$:$$e^{x}\approx 1 x.$$Për ta zbatuar këtë përafrim tek shprehja e parë e nxjerrë për p(n), marrim $x=-{\frac {a}{365}}$. Kështu,$$e^{-a/365}\approx 1-{\frac {a}{365}}.$$

Grafi tregon saktësinë e përafrimit 1 − e^{−n2⁄₇₃₀}(kuqe).

Pastaj zëvendësojmë a me numra të plotë pozitivë për çdo term në shprehjen për p(n), deri tek a = n − 1.

Për shembull për a = 1,$$e^{-1/365}\approx 1-{\frac {1}{365}}.$$Shprehja e parë e nxjerrë për p(n) mund të përafrohet si$${\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}\\[6pt]&=e^{-\left.{\big (}1 2 \,\cdots \, (n-1){\big )}\right/365}\\[6pt]&=e^{-(n(n-1)/2)/365}=e^{-n(n-1)/730}.\end{aligned}}$$Prej këtu,$$p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-n(n-1)/730}.$$Një përafrim më i thjeshtë jepet me$$p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/730}$$dhe siç shihet në graf është përafrim mjaft i mirë.

Një fuqizim i thjeshtë

Përafrimi i problemit të ditëlindjes me anë të një fuqizimi të thjeshtë.

Probabiliteti që 2 persona mos ta kenë ditëlindjen e njejtë është ${\textstyle {\frac {364}{365}}}$. Në një grup prej n personash janë ${\textstyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$ dyshe të ndryshme të personave, mund të themi se janë${\textstyle {\binom {n}{2}}}$ ngjarje. Probabiliteti që çdo dy persona në grup nuk e kanë ditëlindjen e njejtë, mund të përafrohet duke supozuar se të gjitha ${\textstyle {\binom {n}{2}}}$ ngjarjet janë të pavarura dhe duke i shumëzuar probabilitetet e tyre me njëra tjetrën. D.m.th probabiliteti ${\textstyle {\frac {364}{365}}}$ shumëzohet me veten ${\textstyle {\binom {n}{2}}}$ herë, pra:$${\bar {p}}(n)\approx \left({\frac {364}{365}}\right)^{\binom {n}{2}}.$$Tani, përafrimi i probabilitetit që në një grup prej n personash së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë është:$$p(n)\approx 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{\binom {n}{2}}.$$Siç shihet nga grafiku, përafrimi është mjaft i mirë, por pak më i dobët se përafrimi i parë.