Matrica e njësheve

Në matematikë, një matricë e njësheve është një matricë ku çdo element është i barabartë me një . Shembuj të shënimeve standarde janë dhënë më poshtë:

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad$

Disa burime e quajnë matricën me të gjitha njësha matrica njësi, por ky term mund t'i referohet gjithashtu matricës së identitetit, një lloj tjetër matrice.

Vetitë

Për një matricë njëshesh $n\times n$ të shënuar me ${\ce {J}}$, vlejnë vetitë e mëposhtme:

• Gjurma e $J$ është e barabartë me $n$, dhe përcaktori është e barabartë me 0 për $n\geq 2$, por është e barabartë me 1 nëse n = 1.
• Polinomi karakteristik i $J$ është $(x-n)x^{n-1}$ .
• Polinomi minimal i $J$ është $x^{2}-nx$ .
• Rangu i $J$ është 1 dhe eigenvlerat janë $n$ me shumësi 1 dhe 0 me shumësi $n-1$ .
• $J^{k}=n^{k-1}J$ për $k=1,2,\ldots .$
• $J$ është elementi neutral i produktit Hadamard .

Kur $J$ konsiderohet si një matricë mbi numrat realë, qëndrojnë vetitë e mëposhtme shtesë:

• J është matricë gjysëm e përcaktuar pozitive .
• Matrica ${\tfrac {1}{n}}J$ është idempotente .
• Eksponenciali i matricës së J është $e^{J}=I {\frac {e^{n}-1}{n}}J.$